【运筹学】运输规划求最大值 ( 运输规划求最大值问题示例 | 转为运输规划求最小值的方式 )

一、运输规划求最大值问题

目标函数求最大值 : 如求利润最大值 , 营业额最大值 ;

m a x Z = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n c i j x i j s . t { ∑ j = 1 n x i j = a i      (   i = 1 , 2 , 3 , ⋯   , m   ) ∑ i = 1 m x i j = b j      (   j = 1 , 2 , 3 , ⋯   , n   ) x i j ≥ 0      (   i = 1 , 2 , 3 , ⋯   , m    ;    j = 1 , 2 , 3 , ⋯   , n   ) \begin{array}{lcl} \rm maxZ = \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} c_{ij} x_{ij} \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm \sum_{j = 1}^{n} x_{ij} = a_i \ \ \ \ ( \ i = 1, 2,3, \cdots , m \ ) \\\\ \rm \sum_{i = 1}^{m} x_{ij} = b_j \ \ \ \ ( \ j = 1, 2,3, \cdots , n \ ) \\\\ \rm x_{ij} \geq 0 \ \ \ \ ( \ i = 1, 2,3, \cdots , m \ \ ; \ \ j = 1, 2,3, \cdots , n \ ) \end{cases}\end{array} maxZ=∑i=1m​∑j=1n​cij​xij​s.t⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​∑j=1n​xij​=ai​    ( i=1,2,3,⋯,m )∑i=1m​xij​=bj​    ( j=1,2,3,⋯,n )xij​≥0    ( i=1,2,3,⋯,m  ;  j=1,2,3,⋯,n )​​

二、运输规划求最大值问题示例

下面的表格是 A i    ( i = 1 , 2 , 3 ) \rm A_i \ \ ( i = 1,2,3 ) Ai​  (i=1,2,3) 到 B j    ( j = 1 , 2 , 3 ) \rm B_j \ \ ( j = 1,2,3 ) Bj​  (j=1,2,3) 的吨公里利润 , 如何安排运输 , 能使得总利润最大 ;

B 1 \rm B_1 B1​ B 2 \rm B_2 B2​ B 3 \rm B_3 B3​产量 A 1 \rm A_1 A1​ 2 2 2 5 5 5 8 8 8 9 9 9 A 2 \rm A_2 A2​ 9 9 9 10 10 10 7 7 7 10 10 10 A 3 \rm A_3 A3​ 6 6 6 5 5 5 4 4 4 12 12 12销量 8 8 8 14 14 14 9 9 9

目标函数求最大问题 , 可以转化为求最小问题 , 给目标函数所有的数都乘以 − 1 -1 −1 ,

B 1 \rm B_1 B1​ B 2 \rm B_2 B2​ B 3 \rm B_3 B3​产量 A 1 \rm A_1 A1​ − 2 -2 −2 − 5 -5 −5 − 8 -8 −8 9 9 9 A 2 \rm A_2 A2​ − 9 -9 −9 − 10 -10 −10 − 7 -7 −7 10 10 10 A 3 \rm A_3 A3​ − 6 -6 −6 − 5 -5 −5 − 4 -4 −4 12 12 12销量 8 8 8 14 14 14 9 9 9

在所有值都变为负数后 , 为了方便计算 , 给所有的值都加上一个正数 , 计算的数值虽然不同 , 但是最终的运输规划结果是相同的 ;

如加上 14 14 14 , 表格变为 :

B 1 \rm B_1 B1​ B 2 \rm B_2 B2​ B 3 \rm B_3 B3​产量 A 1 \rm A_1 A1​ 12 12 12 9 9 9 6 6 6 9 9 9 A 2 \rm A_2 A2​ 5 5 5 4 4 4 7 7 7 10 10 10 A 3 \rm A_3 A3​ 8 8 8 9 9 9 10 10 10 12 12 12销量 8 8 8 14 14 14 9 9 9

求上述运输规划最小值即可 ;