【数字信号处理】基本序列 ( 复指数序列 | 单位复指数序列 | 复变函数欧拉公式 )

一、复指数序列

复指数序列 :

x ( n ) = e j ω 0 n e σ n x(n) = e^{j \omega _0 n} e^{\sigma n} x(n)=ejω0​neσn

二、单位复指数序列

单位复指数序列 :

在 σ = 0 \sigma = 0 σ=0 的情况下 , e σ n = 1 e^{\sigma n} = 1 eσn=1 , 则有

x ( n ) = e j ω 0 n = c o s ( ω 0 n ) + j s i n ( ω 0 n ) x(n) = e^{j \omega _0 n} = cos(\omega _0 n) + j sin (\omega _0 n) x(n)=ejω0​n=cos(ω0​n)+jsin(ω0​n)

其中 e j ω 0 n e^{j \omega _0 n} ejω0​n 被称为 " 单位复指数序列 " , 这是我们关心的序列 ; 上述公式是 复变函数 中的 欧拉公式 ;

复变函数 欧拉公式 :

e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x e^{ix} = \cos x + i \sin x eix=cosx+isinx

单位复指数序列特点 :

e j ( ω 0 n + 2 k π n ) = e j ω 0 n       k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ e^{j (\omega _0 n + 2k\pi n)} = e^{j \omega_0 n} \ \ \ \ \ k = 0, \pm1 , \pm 2, \cdots ej(ω0​n+2kπn)=ejω0​n     k=0,±1,±2,⋯

对 ω \omega ω 来说 一定是以 2 π 2\pi 2π 为周期 ;