【数字信号处理】周期序列 ( 周期序列表示方法 | 主值区间表示法 | 模 N 表示法 )

一、主值区间表示法

主值序列 :

保留 x ~ ( n ) \widetilde x(n) x (n) 在 " 主值区间 " 的值 , 其它值都为 0 0 0 , 构成一个典型的 " 有限序列 " ,

该 有限序列 称为 周期序列 的 " 主值序列 " ;

" 主值序列 " 公式如下 :

x ~ ( n ) = { x ~ ( 0 ) , x ~ ( 1 ) , x ~ ( 2 ) , ⋯   , x ~ ( N − 1 ) } \widetilde x(n) = \{ \widetilde x(0) , \widetilde x(1) , \widetilde x(2) , \cdots , \widetilde x(N - 1) \} x (n)={x (0),x (1),x (2),⋯,x (N−1)}

只列出一个周期的值 , 放在集合中 ;

有限序列示例 : 下面表示的是一个 有限序列 , 该序列只有 4 4 4 个值 ;

x ( n ) = { 1 , 1 , − 1 , 2 } x(n) = \{ 1 , 1 , -1, 2 \} x(n)={1,1,−1,2}

周期序列示例 : 下面表示的是一个 周期序列 , 该序列 周期为 4 4 4 , 使用 主值区间表示法如下表示 ;

x ~ ( n ) = { 1 , 1 , − 1 , 2 } \widetilde x(n) = \{ 1 , 1 , -1, 2 \} x (n)={1,1,−1,2}

二、模 N 表示法

主值区间表示法 , 只能表示 完整周期的序列 ;

假如 周期序列 周期为 4 4 4 , 但是想要表示 周期序列中的 7 7 7 个值 , 此时就要使用 模 N 表示法 表示 周期序列 ;

x ~ ( n ) = x ( ( n ) ) N \widetilde x(n) = x((n))_N x (n)=x((n))N​

其中 , ( ( n ) ) N ((n))_N ((n))N​ 表示的是 以 N N N 为模 的 n n n 的余数 , n n n 除以 N N N 的余数 ;

情况一 : 当 n ≥ 0 n \geq 0 n≥0 时 , n = m N + P n = mN + P n=mN+P , 并且有 0 ≤ P ≤ N − 1 0 \leq P \leq N-1 0≤P≤N−1 , 则有 ( ( n ) ) N = P ((n))_N = P ((n))N​=P ;

示例 : 上面的例子中 , 周期 N = 4 N= 4 N=4 , 要 表示 n = 7 n= 7 n=7 个值 , 则 有 ( ( 7 ) ) 4 = 3 ((7))_4 = 3 ((7))4​=3

情况二 : 当 n ≤ 0 n \leq 0 n≤0 时 , 则有 ( ( n ) ) N = N − ( ( ∣ n ∣ ) ) N ((n))_N = N- ((|n|))_N ((n))N​=N−((∣n∣))N​ ;

示例 : 上面的例子中 , 周期 N = 4 N= 4 N=4 , 要 表示 n = − 1 n= -1 n=−1 个值 , 下面式子计算时 , 先把 − 1 -1 −1 取绝对值变为 1 1 1 , 然后取 N − 1 = 4 − 1 = 3 N-1 = 4 - 1 = 3 N−1=4−1=3

( ( − 1 ) ) 4 = 3 ((-1))_4 = 3 ((−1))4​=3

举例说明 :

示例一 : N = 5 N = 5 N=5 时 , 使用 模 N 表示法 表示 周期序列 :

x ~ ( 8 ) = x ( ( 8 ) ) N = x ~ ( 3 ) \widetilde x(8) = x((8))_N = \widetilde x(3) x (8)=x((8))N​=x (3)

其中 , x ~ ( 8 ) \widetilde x(8) x (8) 对应的 x ~ ( 3 ) \widetilde x(3) x (3) 的值是相同的 , ( ( 8 ) ) 5 = 3 ((8))_5 = 3 ((8))5​=3 ;

示例二 : x ~ ( − 2 ) = x ~ ( 3 ) \widetilde x(-2) = \widetilde x(3) x (−2)=x (3)

( ( − 2 ) ) 5 = 5 − ( ( ∣ − 2 ∣ ) ) 5 = 5 − ( ( ∣ 2 ∣ ) ) 5 = 5 − 2 = 3 ((-2))_5 = 5- ((|-2|))_5 = 5- ((|2|))_5 = 5 - 2 = 3 ((−2))5​=5−((∣−2∣))5​=5−((∣2∣))5​=5−2=3