【数字信号处理】线性时不变系统 LTI “ 输入 “ 与 “ 输出 “ 之间的关系 ( 周期性分析 | 卷积运算规律 | 交换律 | 结合律 | 分配率 | 冲击不变性 )

一、LTI 系统 “ 输入 “ 与 “ 输出 “ 周期性分析

离散时间 线性 时不变 系统 ,

单位脉冲响应 为 h ( n ) h(n) h(n) ,

如果 " 输入序列 " x ( n ) x(n) x(n) , 是 周期序列 , 且 周期为 N N N , 特点是 x ( n ) = x ( n + N ) x(n) = x(n + N) x(n)=x(n+N) ,

" 输出序列 " 也是 周期序列 , 且 周期 为 N N N ;

二、卷积运算规律 1、交换律

线性卷积 具有 交换性 ;

x ( n ) ∗ h ( n ) = h ( n ) ∗ x ( n ) x(n) * h(n) = h(n) * x(n) x(n)∗h(n)=h(n)∗x(n)

2、结合律

结合律 [ h 1 ( n ) ∗ h 2 ( n ) ] [h_1(n) * h_2(n)] [h1​(n)∗h2​(n)] 相当于两个系统 串联 ;

x ( n ) ∗ [ h 1 ( n ) ∗ h 2 ( n ) ] = [ x ( n ) ∗ h 1 ( n ) ] ∗ h 2 ( n ) x(n) * [h_1(n) * h_2(n)] = [x(n) * h_1(n)] * h_2(n) x(n)∗[h1​(n)∗h2​(n)]=[x(n)∗h1​(n)]∗h2​(n)

3、分配律

分配率 [ h 1 ( n ) + h 2 ( n ) ] [h_1(n) + h_2(n)] [h1​(n)+h2​(n)] 相当于 两个系统 并联 ;

x ( n ) ∗ [ h 1 ( n ) + h 2 ( n ) ] = x ( n ) ∗ h 1 ( n ) + x ( n ) ∗ h 2 ( n ) x(n) * [h_1(n) + h_2(n)] = x(n) * h_1(n) + x(n) * h_2(n) x(n)∗[h1​(n)+h2​(n)]=x(n)∗h1​(n)+x(n)∗h2​(n)

4、冲击不变性

x ( n ) ∗ δ ( n ) = x ( n ) x(n) * \delta(n) = x(n) x(n)∗δ(n)=x(n)

x ( n ) ∗ δ ( n − m ) = x ( n − m ) x(n) * \delta(n - m) = x(n - m) x(n)∗δ(n−m)=x(n−m)