【数字信号处理】线性时不变系统 LTI “ 输入 “ 与 “ 输出 “ 之间的关系 ( 线性卷积起点定理 | 左边序列概念 | 推理 )

一、线性卷积起点定理

x ( n ) x(n) x(n) 和 y ( n ) y(n) y(n) 分别是 起点为 N 1 N_1 N1​ 和 N 2 N_2 N2​ 的 右边序列 ( 或左边序列 ) ,

g ( n ) = x ( n ) ∗ y ( n ) g(n) = x(n) * y(n) g(n)=x(n)∗y(n) ,

则 g ( n ) g(n) g(n) 是 右边序列 ( 或左边序列 ) , 并且 起点为 N 0 = N 1 + N 2 N_0 = N_1 + N_2 N0​=N1​+N2​ ;

二、左边序列

下面回顾下 左边序列 和 右边序列 的概念 , 参考 【数字信号处理】序列分类 ( 单边序列和双边序列 | 左边序列 | 右边序列 | 有限序列和无限序列 | 稳定序列和不稳定序列 ) 博客 ;

单边序列 : 序列 x ( n ) x(n) x(n) , 如果存在 整数 N 1 N_1 N1​ 或者 N 2 N_2 N2​ , 使得

x ( n ) = 0 ( n < N 1 ) x(n) = 0 (n < N_1) x(n)=0(n N 2 ) x(n) = 0 (n > N_2) x(n)=0(n>N2​)

则称该序列 x ( n ) x(n) x(n) 为 单边序列 ;

前者是 右边序列 , 从 N 1 N_1 N1​ 整数开始 左边为 0 0 0 , 有效值都在右边 ;

后者是 左边序列 , 从 N 2 N_2 N2​ 整数开始 右边为 0 0 0 , 有效值都在左边 ;

与 " 单边序列 " 相对的是 " 双边序列 " ;

三、线性卷积起点定理推理

有限序列 x ( n ) x(n) x(n) 和 y ( n ) y(n) y(n) 长度分别是 N N N 和 M M M ,

g ( n ) = x ( n ) ∗ y ( n ) g(n) = x(n) * y(n) g(n)=x(n)∗y(n)

则 g ( n ) g(n) g(n) 也是有限序列 , 其长度 L = N + M − 1 L = N+M -1 L=N+M−1