【数字信号处理】LTI 系统因果性与稳定性示例 ( 示例一 | 示例二 )

一、系统因果性与稳定性示例一

判断系统的 因果性 与 稳定性 :

y ( n ) = 1 N ∑ k = 0 N − 1 x ( n − k ) y(n) = \cfrac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}x(n-k) y(n)=N1​k=0∑N−1​x(n−k)

因果性 : " 离散时间系统 " n n n 时刻 的 " 输出 " , 只取决于 n n n 时刻 及 n n n 时刻 之前 的 " 输入序列 " , 与 n n n 时刻之后 的 " 输入序列 " 无关 ;

稳定性 : 如果 " 输入序列 " 有界 , 则 " 输出序列 " 也有界 ;

因果性证明 :

由于 k k k 的取值范围是 [ 0 , N − 1 ] [0, N-1] [0,N−1] 区间 ,

y ( n ) y(n) y(n) 与 x ( n ) , x ( n − 1 ) , ⋯   , x ( n − N + 1 ) x(n) , x(n-1) , \cdots , x(n - N + 1) x(n),x(n−1),⋯,x(n−N+1) 有关 ;

也就是 y ( n ) y(n) y(n) 只与 n n n 时刻以及 n n n 时刻之前的 " 输入序列 " 有关 ,

因此 , 该系统具有 " 因果性 " ;

稳定性证明 :

如果 ∣ x ( n ) ∣ ≤ B |x(n)| \leq B ∣x(n)∣≤B , 是有界的 ,

则有 ∣ y ( n ) ∣ ≤ 1 N × N B = B |y(n)| \leq \cfrac{1}{N} \times NB = B ∣y(n)∣≤N1​×NB=B , 求和的结果也是有界的 ,

∑ h ( n ) < ∞ \sum h(n) < \infty ∑h(n)