【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( 概念 | 线性常系数差分方程解法 )

一、线性常系数差分方程概念

对于 " 离散时间系统 " ,

可以使用 " 线性 常系数 差分方程 " 描述 系统 " 输入序列 " 与 " 输出序列 " 之间的关系 ,

N N N 阶 " 线性常系数差分方程 " 可以描述为 :

y ( n ) = ∑ i = 0 M b i x ( n − i ) − ∑ i = 1 N a i y ( n − i )         n ≥ M y(n) = \sum_{i = 0}^M b_i x(n - i) - \sum_{i = 1}^N a_i y(n - i) \ \ \ \ \ \ \ n \geq M y(n)=i=0∑M​bi​x(n−i)−i=1∑N​ai​y(n−i)       n≥M

上述 " 线性常系数差分方程 " 的阶数 N N N , 等于

" 输出序列 " y ( n ) y(n) y(n) 移位的 " 最高值 和 最低值 之差 " ;

" 线性 常系数 差分方程 " 中的 " 线性 " 指的是

在 " 差分方程 " 中 ,

只包含 " 输入序列 " 和 " 输出序列 " 的 一次项 ,

不包含 " 高次项 " 以及 " 交叉乘积项 " ;

如果包含了 " 高次项 " 以及 " 交叉乘积项 " , 则该方程就是 " 非线性方程 " ;

二、线性常系数差分方程解法

线性常系数差分方程解法 :

• 经典解法 , 参考 " 组合数学 " 中的解法 【组合数学】递推方程 ( 常系数线性齐次递推方程 | 常系数、线性、齐次 概念说明 | 常系数线性齐次递推方程公式解法 | 特征根 | 通解 | 特解 ) ;
• 递推解法 : 这是最重要的解法 , 编程中用到该解法 ;
• Z Z Z 变换法

递推解法 主要用途 :

• 由 " 线性常系数差分方程 " 得到 系统实现结构 , 滤波器 实现
• LTI 系统 " 瞬态响应 " 求解