【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( 使用递推解法求解 “ 线性常系数差分方程 “ | “ 线性常系数差分方程 “ 初始条件的重要性 )

一、使用递推解法求解 " 线性常系数差分方程 "

使用 " 线性常系数差分方程 " 描述系统 :

y ( n ) = a y ( n − 1 ) + x ( n ) y(n) = ay(n-1) + x(n) y(n)=ay(n−1)+x(n)

输入序列 :

x ( n ) = δ ( n ) x(n) = \delta (n) x(n)=δ(n)

计算输出 y ( n ) y(n) y(n) ;

假设 " 初始条件 " : 零状态为 y ( − 1 ) = 0 y(-1) = 0 y(−1)=0

当 n = 0 n = 0 n=0 时 , δ ( 0 ) = 1 \delta (0) = 1 δ(0)=1 , y ( 0 ) = a y ( 0 − 1 ) + δ ( 0 ) = a × 0 + δ ( 0 ) = 1 y(0) = ay(0-1) + \delta(0) = a \times 0 + \delta (0) = 1 y(0)=ay(0−1)+δ(0)=a×0+δ(0)=1

当 n = 1 n = 1 n=1 时 , δ ( 1 ) = 0 \delta (1) = 0 δ(1)=0 , y ( 1 ) = a y ( 1 − 1 ) + δ ( 1 ) = a × y ( 0 ) + δ ( 1 ) = a y(1) = ay(1-1) + \delta(1) = a \times y(0) + \delta (1) = a y(1)=ay(1−1)+δ(1)=a×y(0)+δ(1)=a

当 n = 2 n = 2 n=2 时 , δ ( 2 ) = 0 \delta (2) = 0 δ(2)=0 , y ( 2 ) = a y ( 2 − 1 ) + δ ( 2 ) = a × y ( 1 ) + δ ( 2 ) = a 2 y(2) = ay(2-1) + \delta(2) = a \times y(1) + \delta (2) =a ^2 y(2)=ay(2−1)+δ(2)=a×y(1)+δ(2)=a2

       ⋮ \ \ \ \ \ \ \vdots       ⋮

当 n = n n = n n=n 时 , y ( n ) = a n u ( n ) = h ( n ) y(n) = a^n u(n)= h(n) y(n)=anu(n)=h(n)

假设 " 初始条件 " : 零状态为 y ( − 1 ) = 1 y(-1) = 1 y(−1)=1

当 n = 0 n = 0 n=0 时 , y ( 0 ) = a y ( − 1 ) + δ ( 0 ) = 1 + a y(0) = ay(-1) + \delta(0) = 1 + a y(0)=ay(−1)+δ(0)=1+a

当 n = 1 n = 1 n=1 时 , y ( 1 ) = a y ( 0 ) + δ ( 1 ) = ( 1 + a ) a y(1) = ay(0) + \delta(1) = (1 + a)a y(1)=ay(0)+δ(1)=(1+a)a

当 n = 2 n = 2 n=2 时 , y ( 2 ) = a y ( 1 ) + δ ( 2 ) = ( 1 + a ) a 2 y(2) = ay(1) + \delta(2) = ( 1 + a )a ^2 y(2)=ay(1)+δ(2)=(1+a)a2

       ⋮ \ \ \ \ \ \ \vdots       ⋮

当 n = n n = n n=n 时 , y ( n ) = ( 1 + a ) a n u ( n ) ≠ h ( n ) y(n) = (1 + a)a^n u(n) \not= h(n) y(n)=(1+a)anu(n)​=h(n)

" 线性常系数差分方程 " 表示的不一定是 " 线性时不变系统 LTI " ;

二、" 线性常系数差分方程 " 初始条件的重要性

在上面的示例中 , 相同的 " 线性常系数差分方程 "

y ( n ) = a y ( n − 1 ) + x ( n ) y(n) = ay(n-1) + x(n) y(n)=ay(n−1)+x(n)

相同的 " 输入序列 "

x ( n ) = δ ( n ) x(n) = \delta(n) x(n)=δ(n)

由于 " 初始条件 " 不同 , y ( − 1 ) = 1 y(-1) = 1 y(−1)=1 和 y ( − 1 ) = 0 y(-1) = 0 y(−1)=0 这两个初始条件 ,

得到的 解 , 也就是 " 输出序列 " 也不同 ;

如果 " 线性常系数差分方程 " 的 " 初始条件 " 不确定 , 则其相应的 " 解 " 也不能确定 ;