【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 线性时不变系统 “ 关联 | 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 线性时不变系统方法 )

一、" 线性常系数差分方程 " 与 " 线性时不变系统 " 关联

根据上一篇博客 【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( 使用递推解法求解 “ 线性常系数差分方程 “ | “ 线性常系数差分方程 “ 初始条件的重要性 ) 中 , 得出如下结论 :

• " 线性常系数差分方程 " 所表示的 系统 , 不一定是 " 线性系统 " , 也不一定是 " 时不变系统 " ;
• " 边界条件 " ( 初始条件 ) , 决定了 " 线性常系数差分方程 " 与 " 线性时不变系统 " ( LTI 系统 ) 之间的关系 ;

二、根据 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定系统是否是 " 线性时不变系统 " 方法 1、线性时不变系统概念 ( 叠加性 | 不随着时间的变化而变化 )

回顾下线性时不变系统 :

线性时不变系统 , 简称 " LTI " , 英文全称 Linear time-invariant ;

线性 ( Linear ) : 线性的含义是 系统具有叠加性 , 给定 x 1 ( n ) x_1(n) x1​(n) 序列 和 x 2 ( n ) x_2(n) x2​(n) 序列 ,

2 2 2 个 " 输入序列 " 之和 的 输出 T [ a x 1 ( n ) + b x 2 ( n ) ] T[ax_1(n) + bx_2(n)] T[ax1​(n)+bx2​(n)] ,

等于

2 2 2 个 " 输入序列 " 输出 之和 a T [ x 1 ( n ) ] + b T [ x 2 ( n ) ] aT[x_1(n)] + bT[x_2(n)] aT[x1​(n)]+bT[x2​(n)] ;

T [ a x 1 ( n ) + b x 2 ( n ) ] = a T [ x 1 ( n ) ] + b T [ x 2 ( n ) ] = a y 1 ( n ) + b y 2 ( n ) T[ax_1(n) + bx_2(n)] = aT[x_1(n)] + bT[x_2(n)] = ay_1(n) + by_2(n) T[ax1​(n)+bx2​(n)]=aT[x1​(n)]+bT[x2​(n)]=ay1​(n)+by2​(n)

线性 概念 , 总结一下就是 系统具有 " 叠加性 "

时不变系统 ( time-invariant ) : 系统特性 , 不随着时间的变化而变化 ;

y ( n − m ) = T [ x ( n − m ) ] y(n - m) = T[x(n-m)] y(n−m)=T[x(n−m)]

输入延迟后 , 输出也随之延迟 ;

如 : 昨天输入 x ( n ) x(n) x(n) 序列得到的输出序列 , 与 今天输入 x ( n ) x(n) x(n) 序列得到的输出序列 , 是相同的 ; 系统特性 , 不随时间变化而变化 ;

线性时不变系统证明参考 :

• 【数字信号处理】线性时不变系统 LTI ( 判断某个系统是否是 “ 非时变 “ 系统 | 案例一 | 先变换后移位 | 先移位后变换 )
• 【数字信号处理】线性时不变系统 LTI ( 判断某个系统是否是 “ 非时变 “ 系统 | 案例二 )
• 【数字信号处理】线性时不变系统 LTI ( 判断某个系统是否是 “ 非时变 “ 系统 | 案例三 )
• 【数字信号处理】线性时不变系统 LTI ( 判断某个系统是否是 “ 线性 “ 系统 | 案例四 )

2、证明方法 ( 1 ) 根据概念证明

如果系统是 " 线性系统 " ,

先假设一个 " 输入序列 " δ ( n ) \delta (n) δ(n) ,

再假设一个 " 输入序列 " δ ( n − 1 ) \delta (n - 1) δ(n−1) ,

最后假设一个 " 输入序列 " δ ( n ) + δ ( n − 1 ) \delta (n) + \delta (n - 1) δ(n)+δ(n−1) ,

查看上述 3 3 3 种 " 输入序列 " 对应的 " 输出序列 " ;

有

• " 初始条件 / 边界条件 " ,
• " 线性常系数差分方程 "
• " 输入序列 "

可以得到 " 输出序列 " ;

" 线性时不变 " 系统 , 满足 " 叠加性 " 和 " 不随着时间的变化而变化特性 " ;

( 2 ) 推导出通式

根据 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 推导出通式 , 然后通过该通式判断 系统是否是 " 线性时不变系统 " ;