【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 “ 线性时不变系统 “ 案例 | 使用递推方法证明 )

参考 【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 线性时不变系统 “ 关联 | 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 线性时不变系统方法 ) 中提出的方法 , 根据

• " 线性常系数差分方程 "
• " 边界条件 "

判断系统是否是 " 线性时不变系统 " ;

一、根据 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定系统是否是 " 线性时不变系统 " 案例

线性常系数差分方程 :

y ( n ) − a y ( n − 1 ) = x ( n ) y(n) - ay(n - 1) = x(n) y(n)−ay(n−1)=x(n)

边界条件 ( 初始条件 ) :

y ( 0 ) = 0 y(0) = 0 y(0)=0

分析该 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定的系统 是否是 " 线性时不变系统 " ;

1、使用递推方法证明

假设 系统的 " 输入序列 " 为 :

x ( n ) x(n) x(n)

使用 " 线性常系数差分方程 " 递推运算 , 可以得到 :

y ( n ) = ∑ i = 1 n a n − i x ( i ) u ( n − 1 ) y(n) = \sum^{n}_{i = 1}a^{n- i}x(i)u(n - 1) y(n)=i=1∑n​an−ix(i)u(n−1)

2、证明线性

假设

x ( n ) = a x 1 ( n ) + b x 2 ( n ) x(n) = ax_1(n) + bx_2(n) x(n)=ax1​(n)+bx2​(n)

将 y ( n ) = ∑ i = 1 n a n − i x ( i ) u ( n − 1 ) y(n) = \sum^{n}_{i = 1}a^{n- i}x(i)u(n - 1) y(n)=∑i=1n​an−ix(i)u(n−1) 代入上述假设的 x ( n ) x(n) x(n) 式子中 ;

计算过程如下 :

y ( n ) = ∑ i = 1 n a n − i x ( i ) u ( n − 1 ) y(n) = \sum^{n}_{i = 1}a^{n- i} x(i)u(n - 1) y(n)=i=1∑n​an−ix(i)u(n−1)

= ∑ i = 1 n a n − i [ a x 1 ( n ) + b x 2 ( n ) ] u ( n − 1 ) = \sum^{n}_{i = 1}a^{n- i} [ ax_1(n) + bx_2(n) ] u(n - 1) =i=1∑n​an−i[ax1​(n)+bx2​(n)]u(n−1)

= a y 1 ( n ) + b y 2 ( n ) = ay_1(n) + by_2(n) =ay1​(n)+by2​(n)

上述系统是 " 线性系统 " ;

3、证明时不变

" 输入序列 " 移动 n 0 n_0 n0​ , 开始计算 " 输出序列 " , 查看 修改前后 的 " 输出序列 " 是否相同 ;

先变换后移位

原始 " 输出序列 " :

y ( n ) = ∑ i = 1 n a n − i x ( i ) u ( n − 1 ) y(n) = \sum^{n}_{i = 1}a^{n- i} x(i)u(n - 1) y(n)=i=1∑n​an−ix(i)u(n−1)

移位后的 " 输出序列 " : 也就是 先 " 变换 " 后 " 移位 " ;

y ( n − n 0 ) = ∑ i = 1 n − n 0 a n − n 0 − i x ( i ) u ( n − n 0 − 1 ) y(n - n_0) = \sum^{n-n_0}_{i = 1}a^{n-n_0- i} x(i)u(n-n_0 - 1) y(n−n0​)=i=1∑n−n0​​an−n0​−ix(i)u(n−n0​−1)

先移位后变换

原始 " 输入序列 " :

x ( n ) x(n) x(n)

移位后的 " 输入序列 " :

x ( n − n 0 ) x(n - n_0) x(n−n0​)

先 " 移位 " 后 " 变换 " :

T [ ( n − n 0 ) ] = ∑ i = 1 n a n − i x ( i − n 0 ) u ( n − 1 ) T[(n - n_0)] = \sum^{n}_{i = 1}a^{n- i} x(i - n_0)u(n - 1) T[(n−n0​)]=i=1∑n​an−ix(i−n0​)u(n−1)

进行变量替换 , 假设 i ′ = i − n 0 i' = i - n_0 i′=i−n0​ , 使用 i = i ′ + n 0 i = i' + n_0 i=i′+n0​ 替换 i i i ,

= ∑ i = 1 − n 0 n − n 0 a n − n 0 − i x ( i ) u ( n − 1 ) = \sum^{n - n_0}_{i = 1-n_0}a^{n-n_0- i} x(i)u(n - 1) =i=1−n0​∑n−n0​​an−n0​−ix(i)u(n−1)

= ∑ i = 1 − n 0 − 1 a n − n 0 − i x ( i ) u ( n − 1 ) + ∑ i = 1 − n 0 n − n 0 a n − n 0 − i x ( i ) u ( n − 1 ) = \sum^{-1}_{i = 1-n_0}a^{n-n_0- i} x(i)u(n - 1) + \sum^{n-n_0}_{i = 1-n_0}a^{n-n_0- i} x(i)u(n - 1) =i=1−n0​∑−1​an−n0​−ix(i)u(n−1)+i=1−n0​∑n−n0​​an−n0​−ix(i)u(n−1)

= ∑ i = 0 n − n 0 a n − n 0 − i x ( i ) u ( n − n 0 ) = \sum^{n-n_0}_{i = 0}a^{n-n_0- i} x(i)u(n - n_0) =i=0∑n−n0​​an−n0​−ix(i)u(n−n0​)

时变系统结论

先变换后移位 的 计算结果 : y ( n − n 0 ) = ∑ i = 1 n − n 0 a n − n 0 − i x ( i ) u ( n − n 0 − 1 ) y(n - n_0) = \sum^{n-n_0}_{i = 1}a^{n-n_0- i} x(i)u(n-n_0 - 1) y(n−n0​)=i=1∑n−n0​​an−n0​−ix(i)u(n−n0​−1)

先移位后变换 的 计算结果 : = ∑ i = 0 n − n 0 a n − n 0 − i x ( i ) u ( n − n 0 ) = \sum^{n-n_0}_{i = 0}a^{n-n_0- i} x(i)u(n - n_0) =i=0∑n−n0​​an−n0​−ix(i)u(n−n0​)

这两个结果不同 , 因此该系统不是 " 时不变 " 系统 , 是 时变系统 ;