【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 “ 线性时不变系统 “ 案例二 | 修改边界条件 | 使用递推方法证明 )

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• " 线性常系数差分方程 "
• " 边界条件 "

判断系统是否是 " 线性时不变系统 " ;

一、根据 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定系统是否是 " 线性时不变系统 " 案例

上一篇博客 【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 “ 线性时不变系统 “ 案例 | 使用递推方法证明 ) 中 , 证明的是

线性常系数差分方程 :

y ( n ) − a y ( n − 1 ) = x ( n ) y(n) - ay(n - 1) = x(n) y(n)−ay(n−1)=x(n)

边界条件 ( 初始条件 ) :

y ( − 1 ) = 0 y(-1) = 0 y(−1)=0

分析该 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定的系统 是否是 " 线性时不变系统 " ;

1、使用递推方法证明

假设 系统的 " 输入序列 " 为 :

x ( n ) x(n) x(n)

使用 " 线性常系数差分方程 " 递推运算 , 可以得到 :

y ( n ) = ∑ i = 0 n a n − i x ( i ) u ( n ) y(n) = \sum^{n}_{i = 0}a^{n- i}x(i)u(n) y(n)=i=0∑n​an−ix(i)u(n)

2、证明线性

假设

x ( n ) = b x 1 ( n ) + c x 2 ( n ) x(n) = bx_1(n) + cx_2(n) x(n)=bx1​(n)+cx2​(n)

将 " 输入序列 " x ( n ) x(n) x(n) 代入上述假设的 y ( n ) = ∑ i = 0 n a n − i x ( i ) u ( n ) y(n) = \sum^{n}_{i = 0}a^{n- i}x(i)u(n) y(n)=∑i=0n​an−ix(i)u(n) 式子中 ;

计算过程如下 :

y ( n ) = ∑ i = 0 n a n − i x ( i ) u ( n ) y(n) = \sum^{n}_{i = 0}a^{n- i}x(i)u(n) y(n)=i=0∑n​an−ix(i)u(n)

= ∑ i = 0 n a n − i [ b x 1 ( i ) + c x 2 ( i ) ] u ( n ) = \sum^{n}_{i = 0}a^{n- i} [ bx_1(i) + cx_2(i) ] u(n) =i=0∑n​an−i[bx1​(i)+cx2​(i)]u(n)

= b y 1 ( n ) + c y 2 ( n ) = by_1(n) + cy_2(n) =by1​(n)+cy2​(n)

上述系统是 " 线性系统 " ;

3、证明时不变

" 输入序列 " 移动 n 0 n_0 n0​ , 开始计算 " 输出序列 " , 查看 修改前后 的 " 输出序列 " 是否相同 ;

先变换后移位

原始 " 输出序列 " :

y ( n ) = ∑ i = 0 n a n − i x ( i ) u ( n ) y(n) = \sum^{n}_{i = 0}a^{n- i}x(i)u(n) y(n)=i=0∑n​an−ix(i)u(n)

移位后的 " 输出序列 " : 也就是 先 " 变换 " 后 " 移位 " ;

y ( n − n 0 ) = ∑ i = 0 n − n 0 a n − n 0 − i x ( i ) u ( n − n 0 ) y(n - n_0) = \sum^{n-n_0}_{i = 0}a^{n - n_0 - i}x(i)u(n - n_0) y(n−n0​)=i=0∑n−n0​​an−n0​−ix(i)u(n−n0​)

先移位后变换

原始 " 输入序列 " :

x ( n ) x(n) x(n)

移位后的 " 输入序列 " :

x ( n − n 0 ) x(n - n_0) x(n−n0​)

先 " 移位 " 后 " 变换 " :

T [ ( n − n 0 ) ] = ∑ i = 0 n a i − n 0 x ( i ) u ( n ) T[(n - n_0)] = \sum^{n}_{i = 0}a^{i - n_0}x(i)u(n) T[(n−n0​)]=i=0∑n​ai−n0​x(i)u(n)

进行变量替换 , 假设 i ′ = i + n 0 i' = i + n_0 i′=i+n0​ , 使用 i = i ′ + n 0 i = i' + n_0 i=i′+n0​ 替换 i i i ,

= ∑ i = − n 0 n − n 0 a n − n 0 − i x ( i ) u ( n ) = \sum^{n - n_0}_{i = -n_0}a^{n-n_0- i} x(i)u(n) =i=−n0​∑n−n0​​an−n0​−ix(i)u(n)

= ∑ i = 0 n − n 0 a n − n 0 − i x ( i ) u ( n ) = \sum^{n-n_0}_{i = 0}a^{n-n_0- i} x(i)u(n) =i=0∑n−n0​​an−n0​−ix(i)u(n)

= ∑ i = 0 n − n 0 a n − n 0 − i x ( i ) u ( n − n 0 ) = \sum^{n-n_0}_{i = 0}a^{n-n_0- i} x(i)u(n - n_0) =i=0∑n−n0​​an−n0​−ix(i)u(n−n0​)

= y ( n − n 0 ) = y(n - n_0) =y(n−n0​)

时变系统结论

先变换后移位 的 计算结果 : ∑ i = 0 n − n 0 a n − n 0 − i x ( i ) u ( n − n 0 ) \sum^{n-n_0}_{i = 0}a^{n - n_0 - i}x(i)u(n - n_0) i=0∑n−n0​​an−n0​−ix(i)u(n−n0​)

先移位后变换 的 计算结果 : ∑ i = 0 n − n 0 a n − n 0 − i x ( i ) u ( n − n 0 ) \sum^{n-n_0}_{i = 0}a^{n-n_0- i} x(i)u(n - n_0) i=0∑n−n0​​an−n0​−ix(i)u(n−n0​)

这两个结果相同 , 因此该系统是 时不变系统 ;