【数字信号处理】相关系数 ( 相关系数概念解析 | 信号能量常数 | 共轭序列 | 序列在相同时刻的相关性 )

一、相关系数概念

" 相关系数 " 英文名称是 " Correlation Coefficient " ;

相关系数 , 就是一个数 , 如下表述 :

假设 x ( n ) x(n) x(n) 和 y ( n ) y(n) y(n) 是两个 能量有限 的 确定性信号 , 并且这 2 2 2 个序列 具有 因果性 , 则相关系数是 :

ρ x y = ∑ n = 0 ∞ x ( n ) y ∗ ( n ) [ ∑ n = 0 ∞ ∣ x ( n ) ∣ 2 ∑ n = 0 ∞ ∣ y ( n ) ∣ 2 ] 1 / 2 \rho_{xy} = \cfrac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}x(n)y^*(n)}{ \Bigg[\sum\limits_{n=0}^{\infty} |x(n)|^2 \sum\limits_{n=0}^{\infty} |y(n)|^2 \Bigg]^{1/2} } ρxy​=[n=0∑∞​∣x(n)∣2n=0∑∞​∣y(n)∣2]1/2n=0∑∞​x(n)y∗(n)​

ρ x y \rho_{xy} ρxy​ 就是 x ( n ) x(n) x(n) 和 y ( n ) y(n) y(n) 的 相关系数 ;

二、相关系数概念解析 1、信号能量常数

∑ n = 0 ∞ ∣ x ( n ) ∣ 2 \sum\limits_{n=0}^{\infty} |x(n)|^2 n=0∑∞​∣x(n)∣2 和 ∑ n = 0 ∞ ∣ y ( n ) ∣ 2 \sum\limits_{n=0}^{\infty} |y(n)|^2 n=0∑∞​∣y(n)∣2 是 信号的能量 , 两个序列都是能量有限的信号 , 其能量是固定的 , 这两个值也就是固定的常数值 ,

因此 ∑ n = 0 ∞ ∣ x ( n ) ∣ 2 ∑ n = 0 ∞ ∣ y ( n ) ∣ 2 \sum\limits_{n=0}^{\infty} |x(n)|^2 \sum\limits_{n=0}^{\infty} |y(n)|^2 n=0∑∞​∣x(n)∣2n=0∑∞​∣y(n)∣2 是一个常数 ;

2、共轭序列

共轭说明 :

数字信号处理 中 , 信号 是 复数 , 数字化之后 , 经过 数字下变频 , 输出的就是 复信号 , 因此这里使用 共轭 ;

信号与系统 中 , 信号 是 实数 , AD 采样之后是一个实信号 ;

3、序列在相同时刻的相关性

相关系数 ρ x y \rho_{xy} ρxy​ 主要取决于 分子中的 ∑ n = 0 ∞ x ( n ) y ∗ ( n ) \sum\limits_{n=0}^{\infty}x(n)y^*(n) n=0∑∞​x(n)y∗(n) , 其中 y ∗ ( n ) y^*(n) y∗(n) 是 y ( n ) y(n) y(n) 的 共轭序列 ,

其 物理含义 是 x ( n ) , y ∗ ( n ) x(n) , y^*(n) x(n),y∗(n) 这两个信号 , 在相同的时刻 的 相关性 ;

如果 x ( n ) = y ( n ) x(n) = y(n) x(n)=y(n) 则 相关系数 ρ x y = 1 \rho_{xy} = 1 ρxy​=1 ,

如果 x ( n ) ≠ y ( n ) x(n) \not= y(n) x(n)​=y(n) 则 相关系数 ρ x y \rho_{xy} ρxy​ 取值在 [ 0 , 1 ) [0 , 1) [0,1) 区间内 ;