【数字信号处理】相关函数 ( 卷积与交换性 | 相关函数不具有交换性 | 推导过程 )

一、卷积与交换性 1、卷积概念

对于 线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 来说 ,

假设 x ( n ) x(n) x(n) 是 LTI 系统的 " 输入序列 " , y ( n ) y(n) y(n) 是 " 输出序列 " ,

则有 :

y ( n ) = ∑ m = − ∞ + ∞ x ( m ) h ( n − m ) = x ( n ) ∗ h ( n ) y(n) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) h(n-m) = x(n) * h(n) y(n)=m=−∞∑+∞​x(m)h(n−m)=x(n)∗h(n)

线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 的

" 输出序列 "

等于

" 输入序列 " 与 " 系统单位脉冲响应 " 的 线性卷积 ;

参考 【数字信号处理】线性时不变系统 LTI “ 输入 “ 与 “ 输出 “ 之间的关系 ( LTI 系统单位脉冲响应 | 卷积 | 卷积推导过程 ) 博客 ;

2、卷积交换律

线性卷积 具有 交换性 ;

x ( n ) ∗ h ( n ) = h ( n ) ∗ x ( n ) x(n) * h(n) = h(n) * x(n) x(n)∗h(n)=h(n)∗x(n)

参考 【数字信号处理】线性时不变系统 LTI “ 输入 “ 与 “ 输出 “ 之间的关系 ( 周期性分析 | 卷积运算规律 | 交换律 | 结合律 | 分配率 | 冲击不变性 ) 博客 ;

二、相关函数交换性

x ( n ) x(n) x(n) 卷积 h ( n ) h(n) h(n) 的结果 等于 h ( n ) h(n) h(n) 卷积 x ( n ) x(n) x(n) 的结果 ;

但是 " 相关函数 " 不具有交换性 ;

x ( n ) x(n) x(n) 与 y ( n + m ) y(n +m) y(n+m) 的相关函数 r x y ( m ) r_{xy}(m) rxy​(m) 如下 :

r x y ( m ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ∗ ( n ) y ( n + m ) r_{xy}(m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) y(n + m) rxy​(m)=n=−∞∑+∞​x∗(n)y(n+m)

这里先给出结论 ,

x ( n ) x(n) x(n) 与 y ( n + m ) y(n +m) y(n+m) 的相关函数 r x y ( m ) r_{xy}(m) rxy​(m) ,

不等于

y ( n ) y(n) y(n) 与 x ( n + m ) x(n +m) x(n+m) 的相关函数 r y x ( m ) r_{yx}(m) ryx​(m) ,

相关函数 , 不具有 交换性 ;

x ( n ) x(n) x(n) 与 y ( n + m ) y(n +m) y(n+m) 的相关函数 r x y ( m ) r_{xy}(m) rxy​(m) 如下 :

r y x ( m ) = ∑ n = − ∞ + ∞ y ∗ ( n ) x ( n + m ) r_{yx}(m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y^*(n) x(n + m) ryx​(m)=n=−∞∑+∞​y∗(n)x(n+m)

令 n + m = n ′ n + m = n' n+m=n′ ,

n n n 的取值范围是 − ∞ - \infty −∞ ~ + ∞ + \infty +∞ ,

则 n ′ n' n′ 取值范围也是 − ∞ - \infty −∞ ~ + ∞ + \infty +∞ ,

使用 n = n ′ − m n = n' - m n=n′−m 替换 n n n ,

r y x ( m ) = ∑ n = − ∞ + ∞ y ∗ ( n ′ − m ) x ( n ′ − m + m ) r_{yx}(m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y^*(n' - m) x(n' -m + m) ryx​(m)=n=−∞∑+∞​y∗(n′−m)x(n′−m+m)

= ∑ n = − ∞ + ∞ y ∗ ( n ′ − m ) x ( n ′ ) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y^*(n' - m) x(n') =n=−∞∑+∞​y∗(n′−m)x(n′)

= ∑ n = − ∞ + ∞ y ∗ ( n − m ) x ( n ) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y^*(n - m) x(n) =n=−∞∑+∞​y∗(n−m)x(n)

= ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) y ∗ ( n − m ) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) y^*(n - m) =n=−∞∑+∞​x(n)y∗(n−m)

根据 复数共轭 运算公式 ( a + b ) ∗ = a ∗ + b ∗ (a + b)^* = a^* + b^* (a+b)∗=a∗+b∗ ,

将 ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) y ∗ ( n − m ) \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) y^*(n - m) ∑n=−∞+∞​x(n)y∗(n−m) 的 共轭 取到 加和符号 ∑ \sum ∑ 外面 ,

x ( n ) x(n) x(n) 需要加上共轭 x ∗ ( n ) x^*(n) x∗(n) ,

y ∗ ( n − m ) y^*(n - m) y∗(n−m) 也要加上一个共轭 y ( n − m ) y(n - m) y(n−m) ;

= r x y ∗ ( − m ) = r^*_{xy}(-m) =rxy∗​(−m)

很明显 ,

该 y ( n ) y(n) y(n) 与 x ( n + m ) x(n +m) x(n+m) 的相关函数 r y x ( m ) r_{yx}(m) ryx​(m) 计算出来的结果 ,

与 x ( n ) x(n) x(n) 与 y ( n + m ) y(n +m) y(n+m) 的相关函数 r x y ( m ) r_{xy}(m) rxy​(m) 计算结果不同 ,

因此对于 相关函数 , 交换律 不成立 ;