【数字信号处理】相关函数 ( 周期信号 | 周期信号的自相关函数 )

一、周期信号

信号 根据 " 周期性 " 进行分类 , 可以分为 " 周期信号 " 和 " 非周期信号 " ;

• 周期信号 : 信号 有周期规律 , 如 : 正弦波信号 ;

• 非周期信号 : 信号 没有周期规律 , 如 : 噪声信号 ;

二、周期信号的自相关函数

x ( n ) x(n) x(n) 是 " 周期信号 " , 周期为 N N N , 则 x ( n ) x(n) x(n) 的自相关函数是 :

r x ( m ) = lim ⁡ N → ∞ 1 N ∑ n = 0 N − 1 x ∗ ( n ) x ( n + m ) = lim ⁡ N → ∞ 1 N ∑ n = 0 N − 1 x ∗ ( n ) x ( n + m + N ) = r x ( m + N ) \begin{array}{lcl} r_x(m) & = & \lim\limits_{N \rightarrow \infty}\cfrac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N-1}x^*(n)x(n+m) \\\\\\ & = & \lim\limits_{N \rightarrow \infty}\cfrac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N-1}x^*(n)x(n+m + N) \\\\\\ \color{OliveGreen} & = & r_x(m + N) \end{array} rx​(m)​===​N→∞lim​N1​∑n=0N−1​x∗(n)x(n+m)N→∞lim​N1​∑n=0N−1​x∗(n)x(n+m+N)rx​(m+N)​

根据上述式子推导 , 周期信号的 " 自相关函数 " 具有 周期性 , 并且该 " 自相关函数 " 周期也是 N N N ;

周期函数 能量 , 无限个周期 求和取平均 , 与 一个周期 求和取平均 的值是相等的 ;

因此 , " 周期信号 " 的 " 自先关函数 " , 也可以使用如下表示 :

r x ( m ) = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x ∗ ( n ) x ( n + m ) r_x(m) = \cfrac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N-1}x^*(n)x(n+m) rx​(m)=N1​n=0∑N−1​x∗(n)x(n+m)

在 " 噪声 " 中检测 " 信号 " , 就是使用了上述特性 ;