【数字信号处理】相关函数 ( 有限信号 | 有限信号的自相关函数 )

一、有限信号的自相关函数

对于 " 有限信号 " x ( n ) x(n) x(n) , n n n 的取值范围是 [ 0 , N − 1 ] [0, N-1] [0,N−1] 闭区间 ;

则 有限信号 x ( n ) x(n) x(n) 的 自相关函数 是 :

r x ( m ) = 1 N ∑ n = 0 N − 1 − m x ∗ ( n ) x ( n + m ) r_x(m) = \cfrac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N-1-m}x^*(n)x(n+m) rx​(m)=N1​n=0∑N−1−m​x∗(n)x(n+m)

∑ n = 0 N − 1 − m x ∗ ( n ) x ( n + m ) \sum_{n = 0}^{N-1-m}x^*(n)x(n+m) ∑n=0N−1−m​x∗(n)x(n+m) 除以 N N N 相当于在 m m m 为 0 0 0 时 , 该自相关函数的值就是 信号功率 ;

r x ( 0 ) = 信 号 功 率 r_x(0) = 信号功率 rx​(0)=信号功率

求 均值 或 方差 , 都需要与 N N N 相除 , N N N 是时间 , 也就是有限信号的个数 , 这里就是 对 时间 求平均 ;

有限信号 是 能量信号 , " 自相关函数 " 的 " 傅里叶变换 " 是 " 功率谱密度函数 " ,

有限信号 的 时间 n n n 的取值范围 是 [ 0 , N − 1 ] [0, N-1] [0,N−1] 闭区间 , 但是公式中的 加和式 是

∑ n = 0 N − 1 − m \sum_{n = 0}^{N-1-m} n=0∑N−1−m​

不是

∑ n = 0 N − 1 \sum_{n = 0}^{N-1} n=0∑N−1​

是因为求的是 x ( n ) x(n) x(n) 与 x ( n + m ) x(n+m) x(n+m) 的相关函数 ;

如果 信号的 移位 m m m , 超出了 n n n 的取值范围 [ 0 , N − 1 ] [0, N-1] [0,N−1] 闭区间 , 该信号就不是原来的信号 , 自相关函数就没有任何意义了 ;

因此这里的 n n n 取值 , 必须是 [ 0 , N − 1 − m ] [0, N-1-m] [0,N−1−m] 闭区间 ;