【数字信号处理】相关函数 ( 自相关函数示例 )

一、自相关函数 示例

给定一个 " 周期函数 " :

x ( n ) = A sin ⁡ ( ω n ) x(n) = A \sin (\omega n) x(n)=Asin(ωn)

其中 ω = 2 π N \omega = \cfrac{2\pi}{N} ω=N2π​ , 求该 " 周期函数 " 的 " 自相关函数 "

r x ( m ) r_x(m) rx​(m)

" 周期信号 " 的 自相关函数 公式 :

r x ( m ) = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x ∗ ( n ) x ( n + m ) r_x(m) = \cfrac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N-1}x^*(n)x(n+m) rx​(m)=N1​n=0∑N−1​x∗(n)x(n+m)

参考 【数字信号处理】相关函数 ( 周期信号 | 周期信号的自相关函数 ) 博客 ;

该信号是 " 实信号 " , 不是 " 复信号 " , 不需要使用共轭 ∗ ^* ∗ ;

r x ( m ) = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) x ( n + m ) r_x(m) = \cfrac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N-1}x(n)x(n+m) rx​(m)=N1​n=0∑N−1​x(n)x(n+m)

将

x ( n ) = A sin ⁡ ( ω n ) x(n) = A \sin (\omega n) x(n)=Asin(ωn)

代入到上面的式子中 ;

r x ( m ) = 1 N ∑ n = 0 N − 1 [ A sin ⁡ ( ω n ) ] [ A sin ⁡ ( ω ( n + m ) ) ] r_x(m) = \cfrac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N-1} [ A \sin (\omega n) ] [ A \sin (\omega ( n + m )) ] rx​(m)=N1​n=0∑N−1​[Asin(ωn)][Asin(ω(n+m))]

展开式子 , 计算得到 :

r x ( m ) = 1 N ∑ n = 0 N − 1 A 2 sin ⁡ ( ω n ) sin ⁡ ( ω n + ω m ) r_x(m) = \cfrac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N-1} A^2 \sin (\omega n) \sin ( \omega n + \omega m ) rx​(m)=N1​n=0∑N−1​A2sin(ωn)sin(ωn+ωm)

使用 三角函数 和差化积 公式 , 参考 百度百科 https://baike.baidu.com/item/和差化积/6973039 ;

r x ( m ) = A 2 N cos ⁡ ω m ∑ n = 0 N − 1 sin ⁡ 2 ω n + A 2 N sin ⁡ ω m ∑ n = 0 N − 1 sin ⁡ ω n cos ⁡ ω n r_x(m) = \cfrac{A^2}{N} \cos \omega m \sum_{n = 0}^{N-1} \sin^2 \omega n + \cfrac{A^2}{N} \sin \omega m \sum_{n = 0}^{N-1} \sin \omega n \cos \omega n rx​(m)=NA2​cosωmn=0∑N−1​sin2ωn+NA2​sinωmn=0∑N−1​sinωncosωn

下面的式子

∑ n = 0 N − 1 sin ⁡ ω n cos ⁡ ω n = 0 \sum_{n = 0}^{N-1} \sin \omega n \cos \omega n = 0 n=0∑N−1​sinωncosωn=0

值为 0 0 0 ,

当 n = 0 n = 0 n=0 时 , sin ⁡ ω n cos ⁡ ω n = 0 \sin \omega n \cos \omega n = 0 sinωncosωn=0 ;

当 n = 1 n = 1 n=1 时 , 与 n = N − 1 n = N-1 n=N−1 时 , 抵消了 ;

当 n = 2 n = 2 n=2 时 , 与 n = N − 2 n = N-2 n=N−2 时 , 抵消了 ;

则最终结果为 0 , 则有 :

A 2 N sin ⁡ ω m ∑ n = 0 N − 1 sin ⁡ ω n cos ⁡ ω n = 0 \cfrac{A^2}{N} \sin \omega m \sum_{n = 0}^{N-1} \sin \omega n \cos \omega n = 0 NA2​sinωmn=0∑N−1​sinωncosωn=0

当前的推导相关函数为 :

r x ( m ) = A 2 N cos ⁡ ω m ∑ n = 0 N − 1 sin ⁡ 2 ω n r_x(m) = \cfrac{A^2}{N} \cos \omega m \sum_{n = 0}^{N-1} \sin^2 \omega n rx​(m)=NA2​cosωmn=0∑N−1​sin2ωn

根据 三角函数公式 :

sin ⁡ 2 α = ( 1 − cos ⁡ 2 α ) 2 \sin^2 \alpha=\cfrac{(1-\cos2\alpha)}{2} sin2α=2(1−cos2α)​

可得 :

sin ⁡ 2 ω n = ( 1 − cos ⁡ 2 ω n ) 2 \sin^2 \omega n = \cfrac{(1- \cos 2 \omega n)}{2} sin2ωn=2(1−cos2ωn)​

带入到相关函数中 , 可得 :

r x ( m ) = A 2 N cos ⁡ ω m ∑ n = 0 N − 1 1 2 ( 1 − cos ⁡ 2 ω n ) r_x(m) = \cfrac{A^2}{N} \cos \omega m \sum_{n = 0}^{N-1} \cfrac{1}{2} (1 - \cos 2 \omega n) rx​(m)=NA2​cosωmn=0∑N−1​21​(1−cos2ωn)

下面的式子

∑ n = 0 N − 1 cos ⁡ 2 ω n = 0 \sum_{n = 0}^{N-1} \cos 2 \omega n = 0 n=0∑N−1​cos2ωn=0

值为 0 0 0 ,

则最终结果为 :

r x ( m ) = A 2 2 cos ⁡ ω m r_x(m) = \cfrac{A^2}{2} \cos \omega m rx​(m)=2A2​cosωm