【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 狄义赫利条件 | 序列傅里叶变换定义 )

一、狄义赫利条件

" 连续非周期 " 的信号 的 傅里叶变换 FT , 也是 " 连续非周期 " 的 ;

" 傅里叶级数变换 " 是将 信号 以 t t t 为周期 , 进行周期延拓 , 然后求 傅里叶变换 FT , 则该 FT 一定是 离散的 , 其间隔是 2 π t \cfrac{2 \pi}{t} t2π​ ;

时域离散 的 非周期 信号 , 其 频域 一定是 连续 周期的 ;

任何 周期函数 , 如果满足 狄义赫利条件 ,

则可以 展开成 正交函数线性组合 的 无穷级数 ;

狄义赫利 ( Dirichlet ) 条件 :

• ① 连续的 周期函数 , 在 单个周期内 是连续的 , 假如有 间断点 , 则 这些 间断点 的数目 是有限的 ; 不能有 无穷多个 间断点 ;
• ② 单个周期 内 , 极大值 和 极小值 的个数 是 有限的 ;
• ③ 单个周期 内 , 信号是 绝对可积 的 , 如下公式中 ∣ f ( t ) ∣ d t | f(t) |dt ∣f(t)∣dt 是有限个 ;

∫ t 0 t 0 + T ∣ f ( t ) ∣ d t \int_{t_0}^{t_0 + T}| f(t) |dt ∫t0​t0​+T​∣f(t)∣dt

二、序列傅里叶变换定义

傅里叶变换 FT , 默认是 连续傅里叶变换 ;

序列傅里叶变换 SFT , 英文全称 " Sequence Fourier Transform " ;

x ( n ) x(n) x(n) 信号 是 离散 非周期 的 , 那么其 傅里叶变换 一定是 连续 周期 的 ;

x ( n ) x(n) x(n) 是绝对可和的 , 满足如下条件 :

∑ n = − ∞ + ∞ ∣ x ( n ) ∣ < ∞ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)|< \infty n=−∞∑+∞​∣x(n)∣