- 一、求 sinωn 傅里叶变换
- 0、sinωn 序列分析
- 1、傅里叶变换与反变换公式介绍
- 2、复变函数欧拉公式介绍
- 3、求 sinωn 的傅里叶变换推导过程
求 sin ω 0 n \sin\omega_0n sinω0n 的傅里叶变换 S F T [ sin ω 0 n ] SFT[\sin\omega_0n] SFT[sinω0n] ?
0、sinωn 序列分析∑ n = − ∞ + ∞ ∣ sin ω 0 n ∣ = ∞ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|\sin\omega_0n| = \infty n=−∞∑+∞∣sinω0n∣=∞
sin ω 0 n \sin\omega_0n sinω0n 序列不是绝对可和的 , 序列值相加值为 ∞ \infty ∞ , 但是其有傅里叶变换 ;
绝对可和 与 存在傅里叶变换 关系如下 :
- 如果 " x ( n ) x(n) x(n)序列绝对可和 " , 则 " 序列傅里叶变换 SFT " 一定存在 ;
- 如果 " 序列傅里叶变换 SFT " 存在 , 不一定 " x ( n ) x(n) x(n)序列绝对可和 " ; 某些 " 非绝对可和序列 " , 引入 广义函数 δ ( ω ) \delta(\omega) δ(ω) 后 , 其 傅里叶变换也存在 ;
傅里叶变换 : 时域 " 离散非周期 " 信号 , 其频域就是 " 连续周期 " 的 , 其频域 可以 展开成一个 " 正交函数的无穷级数加权和 " , 如下公式
X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ω n X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn
傅里叶反变换 : 利用 " 正交函数 " 可以推导出 " 傅里叶反变换 " , 即 根据 傅里叶变换 推导 序列 ;
x ( n ) = 1 2 π ∫ − π π X ( e j ω ) e j ω k d ω x(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega x(n)=2π1∫−ππX(ejω)ejωkdω
2、复变函数欧拉公式介绍复变函数 欧拉公式 :
e i x = cos x + i sin x ① e^{ix} = \cos x + i \sin x \ \ \ \ ① eix=cosx+isinx ①
e − i x = cos x − i sin x ② e^{-ix} = \cos x - i \sin x \ \ \ \ ② e−ix=cosx−isinx ②
单位复指数序列特点 :
e j ( ω 0 n + 2 k π n ) = e j ω 0 n k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ e^{j (\omega _0 n + 2k\pi n)} = e^{j \omega_0 n} \ \ \ \ \ k = 0, \pm1 , \pm 2, \cdots ej(ω0n+2kπn)=ejω0n k=0,±1,±2,⋯
对 ω \omega ω 来说 一定是以 2 π 2\pi 2π 为周期 ;
① 与 ② 相加 , 可以得到 :
cos x = e i x + e − i x 2 公 式 ③ \cos x = \cfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \ \ \ \ 公式③ cosx=2eix+e−ix 公式③
① 与 ② 相减 , 可以得到 :
sin x = e i x − e − i x 2 i 公 式 ④ \sin x = \cfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \ \ \ \ 公式④ sinx=2ieix−e−ix 公式④
可参考百度百科 : https://baike.baidu.com/item/欧拉公式/92066
3、求 sinωn 的傅里叶变换推导过程直接 对
sin ω 0 n \sin \omega_0 n sinω0n
使用
sin x = e i x − e − i x 2 i 公 式 ④ \sin x = \cfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \ \ \ \ 公式④ sinx=2ieix−e−ix 公式④
公式 ,
可以得到 :
sin ω 0 n = e i ω 0 n − e − i ω 0 n 2 i ⑤ \sin \omega_0 n = \cfrac{e^{i\omega_0 n} - e^{-i\omega_0 n}}{2i} \ \ \ \ ⑤ sinω0n=2ieiω0n−e−iω0n ⑤
求上述
e i ω 0 n − e − i ω 0 n 2 i \cfrac{e^{i\omega_0 n} - e^{-i\omega_0 n}}{2i} 2ieiω0n−e−iω0n
序列的傅里叶变换 ,
在 【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | e^jωn 的傅里叶变换 ) 博客中 , 已经求出了 e i ω 0 n e^{i\omega_0 n} eiω0n 的傅里叶变换 , 结果是 :
S F T [ e j ω 0 n ] = ∑ n = − ∞ + ∞ e − j ( ω − ω 0 ) = 2 π δ ~ ( ω − ω 0 ) SFT[e^{j \omega_0 n}] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{ -j ( \omega - \omega_0 ) } =2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) SFT[ejω0n]=n=−∞∑+∞e−j(ω−ω0)=2πδ (ω−ω0)
将 j j j 替换成 i i i 可以得到 :
S F T [ e i ω 0 n ] = ∑ n = − ∞ + ∞ e − i ( ω − ω 0 ) = 2 π δ ~ ( ω − ω 0 ) ⑥ SFT[e^{i \omega_0 n}] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{ -i ( \omega - \omega_0 ) } =2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) \ \ \ \ ⑥ SFT[eiω0n]=n=−∞∑+∞e−i(ω−ω0)=2πδ (ω−ω0) ⑥
将 ω 0 \omega_0 ω0 替换成 − ω 0 -\omega_0 −ω0 可以得到 :
S F T [ e i ( − ω 0 ) n ] = ∑ n = − ∞ + ∞ e − i ( ω + ω 0 ) = 2 π δ ~ ( ω + ω 0 ) ⑦ SFT[e^{i ( -\omega_0 ) n}] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{ -i ( \omega + \omega_0 ) } =2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega + \omega_0 ) \ \ \ \ ⑦ SFT[ei(−ω0)n]=n=−∞∑+∞e−i(ω+ω0)=2πδ (ω+ω0) ⑦
将 ⑥ 和 ⑦ 带入到 ⑤ 式子中 , 可以得到 :
S F T [ sin ω 0 n ] = 2 π δ ~ ( ω − ω 0 ) − 2 π δ ~ ( ω + ω 0 ) 2 i SFT[\sin \omega_0 n] = \cfrac{2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) - 2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega + \omega_0 ) }{2i} SFT[sinω0n]=2i2πδ (ω−ω0)−2πδ (ω+ω0)
最终得到 :
S F T [ sin ω 0 n ] = π δ ~ ( ω − ω 0 ) − π δ ~ ( ω + ω 0 ) i SFT[\sin \omega_0 n] = \cfrac{ \pi \widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) - \pi \widetilde{\delta} ( \omega + \omega_0 ) }{i} SFT[sinω0n]=iπδ (ω−ω0)−πδ (ω+ω0)
将 π \pi π 提取出来 , 得到 :
S F T [ sin ω 0 n ] = π [ δ ~ ( ω − ω 0 ) − δ ~ ( ω + ω 0 ) ] i SFT[\sin \omega_0 n] = \cfrac{ \pi [\widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) - \widetilde{\delta} ( \omega + \omega_0 )] }{i} SFT[sinω0n]=iπ[δ (ω−ω0)−δ (ω+ω0)]
