【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | 求 a^nu(n) 的傅里叶变换 )

一、求 a^nu(n) 傅里叶变换

求 a n u ( n ) a^nu(n) anu(n) 的傅里叶变换 S F T [ a n u ( n ) ] SFT[a^nu(n)] SFT[anu(n)] ?

其中 ∣ a ∣ ≤ 1 |a| \leq 1 ∣a∣≤1 ;

1、傅里叶变换与反变换公式介绍

傅里叶变换 : 时域 " 离散非周期 " 信号 , 其频域就是 " 连续周期 " 的 , 其频域 可以 展开成一个 " 正交函数的无穷级数加权和 " , 如下公式

X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ω n X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} X(ejω)=n=−∞∑+∞​x(n)e−jωn

傅里叶反变换 : 利用 " 正交函数 " 可以推导出 " 傅里叶反变换 " , 即 根据 傅里叶变换 推导 序列 ;

x ( n ) = 1 2 π ∫ − π π X ( e j ω ) e j ω k d ω x(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega x(n)=2π1​∫−ππ​X(ejω)ejωkdω

2、求 a^nu(n) 的傅里叶变换推导过程

将

a n u ( n ) a^nu(n) anu(n)

序列 , 直接带入到

X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ω n X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} X(ejω)=n=−∞∑+∞​x(n)e−jωn

傅里叶变换公式中 , 可得到 :

X ( e j ω ) = ∑ n = 0 + ∞ a n e − j ω n X(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^{+\infty} a^n e^{-j \omega n} X(ejω)=n=0∑+∞​ane−jωn

根据 " 等比级数求和 " 公式 , 可以得到

X ( e j ω ) = 1 1 − a e − j ω X(e^{j\omega}) = \cfrac{1}{1-ae^{-j \omega}} X(ejω)=1−ae−jω1​