- 一、傅里叶变换线性性质
- 二、傅里叶变换时移性质
- 证明过程
傅里叶变换 线性性质 :
两个序列之和 的 傅里叶变换 ,
等于
两个序列 的 傅里叶变换 之和 ;
S F T [ a x 1 ( n ) + b x 2 ( n ) ] = a S F T [ x 1 ( n ) ] + b S F T [ x 2 ( n ) ] SFT[ax_1(n) + bx_2(n)] = aSFT[x_1(n)] + bSFT[x_2(n)] SFT[ax1(n)+bx2(n)]=aSFT[x1(n)]+bSFT[x2(n)]
代入 傅里叶变换 公式
S F T [ x ( n ) ] = X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ω n SFT[x(n)] = X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} SFT[x(n)]=X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn
得到 :
S F T [ a x 1 ( n ) + b x 2 ( n ) ] = a X 1 ( e j ω ) + b X 2 ( e j ω ) SFT[ax_1(n) + bx_2(n)] = aX_1(e^{j\omega}) + bX_2(e^{j\omega}) SFT[ax1(n)+bx2(n)]=aX1(ejω)+bX2(ejω)
二、傅里叶变换时移性质傅里叶变换时移性质 :
序列信号 在 " 时间 " 上 , 进行一系列 " 平移 " 之后 ,
平移 只是影响 序列信号傅里叶变换 的 " 相频特性 " ,
平移 没有影响 序列信号傅里叶变换 的 " 幅频特性 " ;
x ( n ) x(n) x(n) 序列 线性移位 − n 0 -n_0 −n0 后 为 x ( n − n 0 ) x(n - n_0) x(n−n0) ,
x ( n − n 0 ) x(n - n_0) x(n−n0) 序列的 傅里叶变换 S F T [ x ( n − n 0 ) ] SFT[x(n - n_0)] SFT[x(n−n0)] 是
原来的 x ( n ) x(n) x(n) 序列 的 傅里叶变换 S F T [ x ( n ) ] SFT[x(n)] SFT[x(n)] 乘以 e − j ω n 0 e^{-j \omega n_0} e−jωn0 ;
使用公式表示为 :
S F T [ x ( n − n 0 ) ] = e − j ω n 0 X ( e j ω ) SFT[x(n - n_0)] = e^{-j \omega n_0} X(e^{j \omega}) SFT[x(n−n0)]=e−jωn0X(ejω)
证明过程傅里叶变换公式为 :
S F T [ x ( n ) ] = X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ω n SFT[x(n)] = X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} SFT[x(n)]=X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn
x ( n ) x(n) x(n) 序列 , 在时间维度 n n n 的基础上 , 平移 n 0 n_0 n0 , 得到的序列是 x ( n − n 0 ) x(n - n_0) x(n−n0) ,
代入 傅里叶变换 公式后得到 :
S F T [ x ( n − n 0 ) ] = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n − n 0 ) e − j ω n SFT[x(n - n_0)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n - n_0) e^{-j \omega n} SFT[x(n−n0)]=n=−∞∑+∞x(n−n0)e−jωn
令 n ′ = n − n 0 n' = n - n_0 n′=n−n0 , 则有 n = n ′ + n 0 n = n' + n_0 n=n′+n0 , 代入到上面的式子中 :
S F T [ x ( n − n 0 ) ] = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ′ ) e − j ω ( n ′ + n 0 ) SFT[x(n - n_0)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n ') e^{-j \omega ( n' + n_0 )} SFT[x(n−n0)]=n=−∞∑+∞x(n′)e−jω(n′+n0)
展开 e − j ω ( n ′ + n 0 ) e^{-j \omega ( n' + n_0 )} e−jω(n′+n0) 得到 :
S F T [ x ( n − n 0 ) ] = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ′ ) e − j ω n ′ e − j ω n 0 ① SFT[x(n - n_0)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n ') e^{-j \omega n' } e^{-j \omega n_0 } \ \ \ \ ① SFT[x(n−n0)]=n=−∞∑+∞x(n′)e−jωn′e−jωn0 ①
傅里叶变换公式为 :
X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ω n X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn
使用 n ′ n' n′ 替换上面公式中的 n n n , 可得到 ;
X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ′ ) e − j ω n ′ ② X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n') e^{-j \omega n'} \ \ \ \ ② X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n′)e−jωn′ ②
将 ② 带入到 ① 中 , 可以得到
S F T [ x ( n − n 0 ) ] = X ( e j ω ) e − j ω n 0 SFT[x(n - n_0)] = X(e^{j\omega}) e^{-j \omega n_0 } SFT[x(n−n0)]=X(ejω)e−jωn0
