【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 傅里叶变换频移性质 | 证明过程 )

一、傅里叶变换时移性质

傅里叶变换频移性质 :

" 序列信号 x ( n ) x(n) x(n) " 的 " 傅里叶变换 A " ,

" 序列信号 x ( n ) x(n) x(n) " 与 " 单位复指数 e j ω 0 n e^{j \omega_0 n} ejω0​n " 相乘 , 得到的 " 序列 B " ,

注意这里的 单位复指数 中的 ω 0 \omega_0 ω0​ 就是 傅里叶变换 中的移位 ,

求该 " 序列 B " 的 " 傅里叶变换 C " ,

" 傅里叶变换 A " 与 " 傅里叶变换 C " 这两个频域信息形状相同 , 位移相差 ω 0 \omega_0 ω0​ ;

也就是说

" 傅里叶变换 A " 移位 ω 0 \omega_0 ω0​ 后, 得到 " 傅里叶变换 C " ;

使用公式表示为 :

S F T [ e j ω 0 n x ( n ) ] = X ( e j ( ω − ω 0 ) ) SFT[e^{j \omega_0 n}x(n)] = X(e^{j ( \omega - \omega_0 )}) SFT[ejω0​nx(n)]=X(ej(ω−ω0​))

1、证明过程

傅里叶变换 公式为 :

S F T [ x ( n ) ] = X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ω n      ① SFT[x(n)] = X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} \ \ \ \ ① SFT[x(n)]=X(ejω)=n=−∞∑+∞​x(n)e−jωn    ①

将 e j ω 0 n x ( n ) e^{j \omega_0 n}x(n) ejω0​nx(n) 作为序列 , 代入到上面的公式 ① 中 , 得到 :

S F T [ e j ω 0 n x ( n ) ] = ∑ n = − ∞ + ∞ e j ω 0 n x ( n ) e − j ω n SFT[e^{j \omega_0 n}x(n)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{j \omega_0 n}x(n) e^{-j \omega n} SFT[ejω0​nx(n)]=n=−∞∑+∞​ejω0​nx(n)e−jωn

移项 :

S F T [ e j ω 0 n x ( n ) ] = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e j ω 0 n e − j ω n SFT[e^{j \omega_0 n}x(n)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{j \omega_0 n} e^{-j \omega n} SFT[ejω0​nx(n)]=n=−∞∑+∞​x(n)ejω0​ne−jωn

合并 e j ω 0 n e^{j \omega_0 n} ejω0​n 与 e − j ω n e^{-j \omega n} e−jωn 项 :

S F T [ e j ω 0 n x ( n ) ] = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ( ω − ω 0 ) n SFT[e^{j \omega_0 n}x(n)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{- j ( \omega - \omega_0 ) n} SFT[ejω0​nx(n)]=n=−∞∑+∞​x(n)e−j(ω−ω0​)n

最终得到 :

S F T [ e j ω 0 n x ( n ) ] = X ( e j ( ω − ω 0 ) ) SFT[e^{j \omega_0 n}x(n)] = X(e^{j ( \omega - \omega_0 )}) SFT[ejω0​nx(n)]=X(ej(ω−ω0​))

证明完毕 ;

2、使用场景

宽带信号 , 其中有很多信号 , 将信号从一个频率搬移到另一个频率中 , 使用滤波将其它信号过滤 , 然后采样播放出来 ;

频率搬移的过程 , 使用的就是 傅里叶变换频移性质 ;