【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列对称分解定理示例 | 共轭对称序列与原序列之间的关系 | 共轭反对称序列与原序列之间的关系 )

一、序列对称分解定理示例

实因果序列 h ( n ) h(n) h(n) ,

其 共轭对称序列 h e ( n ) h_e(n) he​(n) ,

其 共轭反对称序列 h o ( n ) h_o(n) ho​(n) ,

找出 h ( n ) h(n) h(n) 与 h e ( n ) h_e(n) he​(n) 序列的关系 , h ( n ) h(n) h(n) 与 h o ( n ) h_o(n) ho​(n) 序列的关系 ;

1、序列对称分解定理

任意一个 序列 x ( n ) x(n) x(n) , 都可以使用其 共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe​(n) 与 共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) xo​(n) 之和来表示 ;

x ( n ) = x e ( n ) + x o ( n ) x(n) = x_e(n) + x_o(n) x(n)=xe​(n)+xo​(n)

共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe​(n) 与 原序列 x ( n ) x(n) x(n) 之间的关系如下 :

x e ( n ) = 0.5 [ x ( n ) + x ∗ ( − n ) ] x_e(n) = 0.5[x(n) + x^*(-n)] xe​(n)=0.5[x(n)+x∗(−n)]

共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) xo​(n) 与 原序列 x ( n ) x(n) x(n) 之间的关系如下 :

x o ( n ) = 0.5 [ x ( n ) − x ∗ ( − n ) ] x_o(n) = 0.5[x(n) - x^*(-n)] xo​(n)=0.5[x(n)−x∗(−n)]

2、因果序列

① 离散时间系统因果性 :

" 离散时间系统 " n n n 时刻 的 " 输出 " ,

只取决于 n n n 时刻 及 n n n 时刻 之前 的 " 输入序列 " ,

与 n n n 时刻之后 的 " 输入序列 " 无关 ;

离散时间系统 的 " 输出结果 " 与 " 未来输入 " 无关 ;

" ② 离散时间系统因果性 " 的 充分必要条件是 :

h ( n ) = 0    n < 0 h(n) = 0 \ \ n < 0 h(n)=0  n 0 n > 0 n>0 时 , h ( − n ) = 0 h(-n) = 0 h(−n)=0 ,

根据 序列对称分解定理 , 共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe​(n) 与 原序列 x ( n ) x(n) x(n) 之间的关系 , 可以得到

h e ( n ) = 0.5 × [ h ( n ) + h ( − n ) ] h_e(n) = 0.5 \times [h(n) + h(-n)] he​(n)=0.5×[h(n)+h(−n)]

其中 , 将 h ( − n ) = 0 h(-n) = 0 h(−n)=0 代入上式 , 可得到

h e ( n ) = 0.5 × [ h ( n ) + h ( − n ) ] = 0.5 × [ h ( n ) + 0 ] = 0.5 × h ( n ) h_e(n) = 0.5 \times [h(n) + h(-n)] = 0.5 \times [h(n) + 0] = 0.5 \times h(n) he​(n)=0.5×[h(n)+h(−n)]=0.5×[h(n)+0]=0.5×h(n)

根据 序列对称分解定理 , 共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe​(n) 与 原序列 x ( n ) x(n) x(n) 之间的关系 , 可以得到

h o ( n ) = 0.5 × [ h ( n ) − h ( − n ) ] h_o(n) = 0.5 \times [h(n) - h(-n)] ho​(n)=0.5×[h(n)−h(−n)]

其中 , 将 h ( − n ) = 0 h(-n) = 0 h(−n)=0 代入上式 , 可得到

h o ( n ) = 0.5 × [ h ( n ) − h ( − n ) ] = 0.5 × [ h ( n ) − 0 ] = − 0.5 × h ( n ) h_o(n) = 0.5 \times [h(n) - h(-n)] = 0.5 \times [h(n)- 0] = -0.5 \times h(n) ho​(n)=0.5×[h(n)−h(−n)]=0.5×[h(n)−0]=−0.5×h(n)

实因果序列的对称序列与原序列关系

h e ( n ) h_e(n) he​(n) 与 h ( n ) h(n) h(n) 关系 :

h e ( n ) = { h ( 0 ) n = 0 h ( n ) 2 n > 0 h ( − n ) 2 n < 0 h_e(n) =\begin{cases} h(0) & n = 0 \\\\ \cfrac{h(n)}{2} & n > 0 \\\\ \cfrac{h(-n)}{2} & n < 0 \end{cases} he​(n)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​h(0)2h(n)​2h(−n)​​n=0n>0n 0 0 n < 0 h(n) =\begin{cases} h_e(0) & n = 0 \\\\ 2h_e(n) & n > 0 \\\\ 0 & n < 0 \end{cases} h(n)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​he​(0)2he​(n)0​n=0n>0n 0 − h ( − n ) 2 n < 0 h_o(n) =\begin{cases} 0 & n = 0 \\\\ \cfrac{h(n)}{2} & n > 0 \\\\ \cfrac{-h(-n)}{2} & n < 0 \end{cases} ho​(n)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​02h(n)​2−h(−n)​​n=0n>0n 0 0 n < 0 h(n) =\begin{cases} h(0) & n = 0 \\\\ 2h_o(n) & n > 0 \\\\ 0 & n < 0 \end{cases} h(n)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​h(0)2ho​(n)0​n=0n>0n