【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 频域函数的共轭对称分解 | 序列的傅里叶变换 | 傅里叶变换的共轭对称 | 傅里叶变换的共轭反对称 )

x ( n ) x(n) x(n) 的 傅里叶变换 是 X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω) ,

x ( n ) x(n) x(n) 存在 共轭对称 x e ( n ) x_e(n) xe​(n) 与 共轭反对称 x o ( n ) x_o(n) xo​(n) ,

X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω) 也存在着 共轭对称 X e ( e j ω ) X_e(e^{j\omega}) Xe​(ejω) 和 共轭反对称 X o ( e j ω ) X_o(e^{j\omega}) Xo​(ejω) ;

一、频域函数 ( 傅里叶变换 ) 的共轭对称分解

频域函数的共轭对称分解 :

任意函数

X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω)

都可以分解成 共轭对称分量

X e ( e j ω ) X_e(e^{j\omega}) Xe​(ejω)

和 共轭反对称分量

X o ( e j ω ) X_o(e^{j\omega}) Xo​(ejω)

之和 , 表示为 :

X ( e j ω ) = X e ( e j ω ) + X o ( e j ω ) X(e^{j\omega}) = X_e(e^{j\omega}) + X_o(e^{j\omega}) X(ejω)=Xe​(ejω)+Xo​(ejω)

二、序列对称分解定理

序列对称分解定理 :

任意一个 序列 x ( n ) x(n) x(n) , 都可以使用其 共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe​(n) 与 共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) xo​(n) 之和来表示 ;

x ( n ) = x e ( n ) + x o ( n ) x(n) = x_e(n) + x_o(n) x(n)=xe​(n)+xo​(n)

共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe​(n) 与 原序列 x ( n ) x(n) x(n) 之间的关系如下 :

x e ( n ) = 0.5 [ x ( n ) + x ∗ ( − n ) ] x_e(n) = 0.5[x(n) + x^*(-n)] xe​(n)=0.5[x(n)+x∗(−n)]

共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) xo​(n) 与 原序列 x ( n ) x(n) x(n) 之间的关系如下 :

x o ( n ) = 0.5 [ x ( n ) − x ∗ ( − n ) ] x_o(n) = 0.5[x(n) - x^*(-n)] xo​(n)=0.5[x(n)−x∗(−n)]

x ( n ) x(n) x(n) 的 傅里叶变换 是 X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω) ,

x ( n ) x(n) x(n) 存在 共轭对称 x e ( n ) x_e(n) xe​(n) 与 共轭反对称 x o ( n ) x_o(n) xo​(n) ,

X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω) 也存在着 共轭对称 X e ( e j ω ) X_e(e^{j\omega}) Xe​(ejω) 和 共轭反对称 X o ( e j ω ) X_o(e^{j\omega}) Xo​(ejω) ;

三、傅里叶变换的共轭对称与共轭反对称

在

X ( e j ω ) = X e ( e j ω ) + X o ( e j ω ) X(e^{j\omega}) = X_e(e^{j\omega}) + X_o(e^{j\omega}) X(ejω)=Xe​(ejω)+Xo​(ejω)

式子中 , 根据 序列对称分解定理 ,

X e ( e j ω ) = 0.5 × [ X ( e j ω ) + X ∗ ( e − j ω ) ] X_e(e^{j\omega}) = 0.5 \times [ X(e^{j\omega}) + X^*(e^{-j\omega}) ] Xe​(ejω)=0.5×[X(ejω)+X∗(e−jω)]

X o ( e j ω ) = 0.5 × [ X ( e j ω ) − X ∗ ( e − j ω ) ] X_o(e^{j\omega}) = 0.5 \times [ X(e^{j\omega}) - X^*(e^{-j\omega}) ] Xo​(ejω)=0.5×[X(ejω)−X∗(e−jω)]

其中 X e ( e j ω ) X_e(e^{j\omega}) Xe​(ejω) 是共轭对称的 , 对应实数的 偶对称 , 有如下特性 :

X e ( e j ω ) = X e ∗ ( e − j ω ) X_e(e^{j\omega}) = X_e^*(e^{-j\omega}) Xe​(ejω)=Xe∗​(e−jω)

其中 X o ( e j ω ) X_o(e^{j\omega}) Xo​(ejω) 是共轭反对称的 , 对应实数的 奇对称 , 有如下特性 :

X o ( e j ω ) = − X o ∗ ( e − j ω ) X_o(e^{j\omega}) = -X_o^*(e^{-j\omega}) Xo​(ejω)=−Xo∗​(e−jω)