【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质 | x(n) 分解为实部序列与虚部序列 | 实部傅里叶变换 | 虚部傅里叶变换 | 共轭对称傅里叶变换 | 共轭反对称傅里叶变换 )

一、前置概念 1、序列对称分解定理

序列对称分解定理 : 任意一个 序列 x ( n ) x(n) x(n) , 都可以使用其 共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe​(n) 与 共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) xo​(n) 之和来表示 ;

x ( n ) = x e ( n ) + x o ( n ) x(n) = x_e(n) + x_o(n) x(n)=xe​(n)+xo​(n)

共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe​(n) 与 原序列 x ( n ) x(n) x(n) 之间的关系如下 :

x e ( n ) = 0.5 [ x ( n ) + x ∗ ( − n ) ] x_e(n) = 0.5[x(n) + x^*(-n)] xe​(n)=0.5[x(n)+x∗(−n)]

共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) xo​(n) 与 原序列 x ( n ) x(n) x(n) 之间的关系如下 :

x o ( n ) = 0.5 [ x ( n ) − x ∗ ( − n ) ] x_o(n) = 0.5[x(n) - x^*(-n)] xo​(n)=0.5[x(n)−x∗(−n)]

2、傅里叶变换

x ( n ) x(n) x(n) 的 傅里叶变换 是 X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω) ,

x ( n ) x(n) x(n) 存在 共轭对称 x e ( n ) x_e(n) xe​(n) 与 共轭反对称 x o ( n ) x_o(n) xo​(n) ,

X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω) 也存在着 共轭对称 X e ( e j ω ) X_e(e^{j\omega}) Xe​(ejω) 和 共轭反对称 X o ( e j ω ) X_o(e^{j\omega}) Xo​(ejω) ;

3、傅里叶变换的共轭对称分解

傅里叶变换的共轭对称分解 :

X ( e j ω ) = X e ( e j ω ) + X o ( e j ω ) X(e^{j\omega}) = X_e(e^{j\omega}) + X_o(e^{j\omega}) X(ejω)=Xe​(ejω)+Xo​(ejω)

其中 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω) 是 x ( n ) x(n) x(n) 的傅里叶变换 , X e ( e j ω ) X_e(e^{j\omega}) Xe​(ejω) 是傅里叶变换的 共轭对称分量 , X o ( e j ω ) X_o(e^{j\omega}) Xo​(ejω) 是傅里叶变换的 共轭反对称分量 ,

二、序列傅里叶变换共轭对称性质 0、序列傅里叶变换共轭对称性质 x(n) 分解为实部序列与虚部序列

x ( n ) x(n) x(n) 可以分解为 实部序列 x R ( n ) x_R(n) xR​(n) 和 虚部序列 j x I ( n ) j x_I(n) jxI​(n) :

x ( n ) = x R ( n ) + j x I ( n ) x(n) = x_R(n) + j x_I(n) x(n)=xR​(n)+jxI​(n)

x(n) 分解为共轭对称序列与共轭反对称序列 ( 序列对称分解 )

根据序列对称分解定理 , x ( n ) x(n) x(n) 还可以由序列的 共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe​(n) 和 共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) xo​(n) 之和表示 ;

x ( n ) = x e ( n ) + x o ( n ) x(n) = x_e(n) + x_o(n) x(n)=xe​(n)+xo​(n)

X(e^{jω}) 分解为实部序列与虚部序列

x ( n ) x(n) x(n) 的傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω) 也可以分解为 实部序列 X R ( e j ω ) X_R(e^{j\omega}) XR​(ejω) 和 虚部序列 j X I ( e j ω ) j X_I(e^{j\omega}) jXI​(ejω) :

X ( e j ω ) = X R ( e j ω ) + j X I ( e j ω ) X(e^{j\omega}) =X_R(e^{j\omega})+ j X_I(e^{j\omega}) X(ejω)=XR​(ejω)+jXI​(ejω)

X(e^{jω}) 分解为共轭对称与反对称序列的傅里叶变换 ( 频域共轭对称分解 )

根据 傅里叶变换的共轭对称分解 , x ( n ) x(n) x(n) 的傅里叶变换 , 可以由 x ( n ) x(n) x(n) 的 共轭对称序列 的傅里叶变换 X e ( e j ω ) X_e(e^{j\omega}) Xe​(ejω) 与 x ( n ) x(n) x(n) 的 共轭反对称序列 的傅里叶变换 X o ( e j ω ) X_o(e^{j\omega}) Xo​(ejω) 之和表示 ;

X ( e j ω ) = X e ( e j ω ) + X o ( e j ω ) X(e^{j\omega}) = X_e(e^{j\omega}) + X_o(e^{j\omega}) X(ejω)=Xe​(ejω)+Xo​(ejω)

1、序列实部傅里叶变换

x ( n ) x(n) x(n) 序列的 实部 x R ( n ) x_R(n) xR​(n) 的 傅里叶变换 , 就是 x ( n ) x(n) x(n) 的 傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω) 的 共轭对称序列 X e ( e j ω ) X_e(e^{j \omega}) Xe​(ejω);

x R ( n ) x_R(n) xR​(n) 的 傅里叶变换 X e ( e j ω ) X_e(e^{j \omega}) Xe​(ejω) 具备 共轭对称性 ;

x R ( n ) ⟷ S F T X e ( e j ω ) x_R(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_e(e^{j \omega}) xR​(n)⟷SFT​Xe​(ejω)

2、序列虚部傅里叶变换

x ( n ) x(n) x(n) 序列的 虚部 x I ( n ) x_I(n) xI​(n) 的 傅里叶变换 , 就是 x ( n ) x(n) x(n) 的 傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω) 的 共轭反对称序列 X o ( e j ω ) X_o(e^{j \omega}) Xo​(ejω);

j x I ( n ) jx_I(n) jxI​(n) 的 傅里叶变换 X o ( e j ω ) X_o(e^{j \omega}) Xo​(ejω) 具备 共轭反对称性 :

j x I ( n ) ⟷ S F T X o ( e j ω ) jx_I(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_o(e^{j \omega}) jxI​(n)⟷SFT​Xo​(ejω)

3、共轭对称序列傅里叶变换

x ( n ) x(n) x(n) 的 共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe​(n) 的 傅里叶变换 , 一定是一个 实序列 X R ( e j ω ) X_R(e^{j \omega}) XR​(ejω)

x e ( n ) ⟷ S F T X R ( e j ω ) x_e(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_R(e^{j \omega}) xe​(n)⟷SFT​XR​(ejω)

4、共轭反对称序列傅里叶变换

x ( n ) x(n) x(n) 的 共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) xo​(n) 的 傅里叶变换 , 一定是一个 纯虚序列 X R ( e j ω ) X_R(e^{j \omega}) XR​(ejω)

x o ( n ) ⟷ S F T j X I ( e j ω ) x_o(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow jX_I(e^{j \omega}) xo​(n)⟷SFT​jXI​(ejω)