【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质示例 | 证明 共轭对称序列 x_e(n) 的 傅里叶变换 是 原序列傅里叶变换 的实部 )

一、前置公式定理 1、相关元素说明 x(n) 分解为实部序列与虚部序列

x ( n ) x(n) x(n) 可以分解为 实部序列 x R ( n ) x_R(n) xR​(n) 和 虚部序列 j x I ( n ) j x_I(n) jxI​(n) :

x ( n ) = x R ( n ) + j x I ( n ) x(n) = x_R(n) + j x_I(n) x(n)=xR​(n)+jxI​(n)

x(n) 分解为共轭对称序列与共轭反对称序列 ( 序列对称分解 )

根据序列对称分解定理 , x ( n ) x(n) x(n) 还可以由序列的 共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe​(n) 和 共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) xo​(n) 之和表示 ;

x ( n ) = x e ( n ) + x o ( n ) x(n) = x_e(n) + x_o(n) x(n)=xe​(n)+xo​(n)

X(e^{jω}) 分解为实部序列与虚部序列

x ( n ) x(n) x(n) 的傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω) 也可以分解为 实部序列 X R ( e j ω ) X_R(e^{j\omega}) XR​(ejω) 和 虚部序列 j X I ( e j ω ) j X_I(e^{j\omega}) jXI​(ejω) :

X ( e j ω ) = X R ( e j ω ) + j X I ( e j ω ) X(e^{j\omega}) =X_R(e^{j\omega})+ j X_I(e^{j\omega}) X(ejω)=XR​(ejω)+jXI​(ejω)

X(e^{jω}) 分解为共轭对称与反对称序列的傅里叶变换 ( 频域共轭对称分解 )

根据 傅里叶变换的共轭对称分解 , x ( n ) x(n) x(n) 的傅里叶变换 , 可以由 x ( n ) x(n) x(n) 的 共轭对称序列 的傅里叶变换 X e ( e j ω ) X_e(e^{j\omega}) Xe​(ejω) 与 x ( n ) x(n) x(n) 的 共轭反对称序列 的傅里叶变换 X o ( e j ω ) X_o(e^{j\omega}) Xo​(ejω) 之和表示 ;

X ( e j ω ) = X e ( e j ω ) + X o ( e j ω ) X(e^{j\omega}) = X_e(e^{j\omega}) + X_o(e^{j\omega}) X(ejω)=Xe​(ejω)+Xo​(ejω)

2、序列对称分解定理

任意一个 序列 x ( n ) x(n) x(n) , 都可以使用其 共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe​(n) 与 共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) xo​(n) 之和来表示 ;

x ( n ) = x e ( n ) + x o ( n ) x(n) = x_e(n) + x_o(n) x(n)=xe​(n)+xo​(n)

共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe​(n) 与 原序列 x ( n ) x(n) x(n) 之间的关系如下 :

x e ( n ) = 0.5 [ x ( n ) + x ∗ ( − n ) ] x_e(n) = 0.5[x(n) + x^*(-n)] xe​(n)=0.5[x(n)+x∗(−n)]

共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) xo​(n) 与 原序列 x ( n ) x(n) x(n) 之间的关系如下 :

x o ( n ) = 0.5 [ x ( n ) − x ∗ ( − n ) ] x_o(n) = 0.5[x(n) - x^*(-n)] xo​(n)=0.5[x(n)−x∗(−n)]

3、傅里叶变换定义

序列傅里叶变换 SFT , 英文全称 " Sequence Fourier Transform " ;

x ( n ) x(n) x(n) 信号 是 离散 非周期 的 , 那么其 傅里叶变换 一定是 连续 周期 的 ;

x ( n ) x(n) x(n) 是绝对可和的 , 满足如下条件 :

∑ n = − ∞ + ∞ ∣ x ( n ) ∣ < ∞ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)|< \infty n=−∞∑+∞​∣x(n)∣