【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质 | 序列实偶 傅里叶变换 实偶 | 序列实奇 傅里叶变换 虚奇 | 证明 “ 序列实奇 傅里叶变换 虚奇 “ )

一、序列实偶 傅里叶变换 实偶

如果 x ( n ) x(n) x(n) 序列 是 " 实序列 " , " 偶对称的 " , 则其傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω) 也是 " 实序列 " , " 偶对称的 " ;

二、序列实奇 傅里叶变换 虚奇

如果 x ( n ) x(n) x(n) 序列 是 " 实序列 " , " 奇对称的 " , 则其傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω) 也是 " 虚序列 " , " 奇对称的 " ;

三、证明 " 序列实奇 傅里叶变换 虚奇 " 1、前置公式定理 ①、序列实部傅里叶变换

x ( n ) x(n) x(n) 序列的 实部 x R ( n ) x_R(n) xR​(n) 的 傅里叶变换 , 就是 x ( n ) x(n) x(n) 的 傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω) 的 共轭对称序列 X e ( e j ω ) X_e(e^{j \omega}) Xe​(ejω);

x R ( n ) x_R(n) xR​(n) 的 傅里叶变换 X e ( e j ω ) X_e(e^{j \omega}) Xe​(ejω) 具备 共轭对称性 ;

x R ( n ) ⟷ S F T X e ( e j ω ) x_R(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_e(e^{j \omega}) xR​(n)⟷SFT​Xe​(ejω)

②、序列虚部傅里叶变换

x ( n ) x(n) x(n) 序列的 虚部 x I ( n ) x_I(n) xI​(n) 的 傅里叶变换 , 就是 x ( n ) x(n) x(n) 的 傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω) 的 共轭反对称序列 X o ( e j ω ) X_o(e^{j \omega}) Xo​(ejω);

j x I ( n ) jx_I(n) jxI​(n) 的 傅里叶变换 X o ( e j ω ) X_o(e^{j \omega}) Xo​(ejω) 具备 共轭反对称性 :

j x I ( n ) ⟷ S F T X o ( e j ω ) jx_I(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_o(e^{j \omega}) jxI​(n)⟷SFT​Xo​(ejω)

③、共轭对称序列傅里叶变换

x ( n ) x(n) x(n) 的 共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe​(n) 的 傅里叶变换 , 一定是一个 实序列 X R ( e j ω ) X_R(e^{j \omega}) XR​(ejω)

x e ( n ) ⟷ S F T X R ( e j ω ) x_e(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_R(e^{j \omega}) xe​(n)⟷SFT​XR​(ejω)

④、共轭反对称序列傅里叶变换

x ( n ) x(n) x(n) 的 共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) xo​(n) 的 傅里叶变换 , 一定是一个 纯虚序列 X R ( e j ω ) X_R(e^{j \omega}) XR​(ejω)

x o ( n ) ⟷ S F T j X I ( e j ω ) x_o(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow jX_I(e^{j \omega}) xo​(n)⟷SFT​jXI​(ejω)

2、证明过程 实序列 傅里叶变换

x ( n ) x(n) x(n) 为 " 实序列 " ,

根据 x ( n ) x(n) x(n) 序列的 实部 x R ( n ) x_R(n) xR​(n) 的 傅里叶变换 , 就是 x ( n ) x(n) x(n) 的 傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω) 的 共轭对称序列 X e ( e j ω ) X_e(e^{j \omega}) Xe​(ejω); x R ( n ) x_R(n) xR​(n) 的 傅里叶变换 X e ( e j ω ) X_e(e^{j \omega}) Xe​(ejω) 具备 共轭对称性 的特征 :

x R ( n ) ⟷ S F T X e ( e j ω ) x_R(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow X_e(e^{j \omega}) xR​(n)⟷SFT​Xe​(ejω)

性质 , 其 傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω) 有如下特性 :

X ( e j ω ) = X ∗ ( e − j ω ) X(e^{j \omega}) = X^*(e^{-j \omega}) X(ejω)=X∗(e−jω)

奇对称序列 傅里叶变换

x ( n ) x(n) x(n) 序列是 " 奇对称 " 的 ,

根据 x ( n ) x(n) x(n) 的 共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) xo​(n) 的 傅里叶变换 , 一定是一个 纯虚序列 X R ( e j ω ) X_R(e^{j \omega}) XR​(ejω)

x o ( n ) ⟷ S F T j X I ( e j ω ) x_o(n) \overset{SFT} \longleftrightarrow jX_I(e^{j \omega}) xo​(n)⟷SFT​jXI​(ejω)

性质 , 其 傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j \omega}) X(ejω) 有如下特性 :

X ( e j ω ) = j X I ( e j ω ) X(e^{j \omega}) = jX_I(e^{j \omega}) X(ejω)=jXI​(ejω)

前面加了 j j j , 说明 X I ( e j ω ) X_I(e^{j \omega}) XI​(ejω) 是实的 , j X I ( e j ω ) jX_I(e^{j \omega}) jXI​(ejω) 是虚的 ;

实序列 奇对称序列 的 傅里叶变换 虚奇 特征

结合上述 " 实序列 傅里叶变换 X ( e j ω ) = X ∗ ( e − j ω ) X(e^{j \omega}) = X^*(e^{-j \omega}) X(ejω)=X∗(e−jω) " 和 " 奇对称序列 傅里叶变换 X ( e j ω ) = j X I ( e j ω ) X(e^{j \omega}) = jX_I(e^{j \omega}) X(ejω)=jXI​(ejω) " ,

对 j X I ( e j ω ) jX_I(e^{j \omega}) jXI​(ejω) 取共轭 , 然后将 ω \omega ω 取反 , 可得到

X ∗ ( e − j ω ) = j X I ( e j ω ) = − j X I ( e − j ω ) X^*(e^{-j \omega}) = jX_I(e^{j \omega}) = -jX_I(e^{-j \omega}) X∗(e−jω)=jXI​(ejω)=−jXI​(e−jω)

将 j X I ( e j ω ) = − j X I ( e − j ω ) jX_I(e^{j \omega}) = -jX_I(e^{-j \omega}) jXI​(ejω)=−jXI​(e−jω) 中的 j j j 去掉 , 可得到

X I ( e j ω ) = − X I ( e − j ω ) X_I(e^{j \omega}) = -X_I(e^{-j \omega}) XI​(ejω)=−XI​(e−jω)

X I ( e j ω ) X_I(e^{j \omega}) XI​(ejω) 和 − X I ( e − j ω ) -X_I(e^{-j \omega}) −XI​(e−jω) 都是实数 , 这是奇函数的特征 ;