【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质 | 推论 )

一、序列傅里叶变换共轭对称性质 推论

推论一 : 序列 x ( n ) x(n) x(n) 的 共轭序列 x ∗ ( n ) x^*(n) x∗(n) 的 傅里叶变换 :

x ∗ ( n ) ⟷ S F T X ∗ ( e − j ω ) x^*(n) \overset{SFT}\longleftrightarrow X^*(e^{-j \omega}) x∗(n)⟷SFT​X∗(e−jω)

推论二 : 原序列为 x ( n ) x(n) x(n) , 则 x ∗ ( − n ) x^*(-n) x∗(−n) 的 傅里叶变换 :

x ∗ ( − n ) ⟷ S F T X ∗ ( e j ω ) x^*(-n) \overset{SFT}\longleftrightarrow X^*(e^{j \omega}) x∗(−n)⟷SFT​X∗(ejω)

二、证明推论一

证明推论一 : 序列 x ( n ) x(n) x(n) 的 共轭序列 x ∗ ( n ) x^*(n) x∗(n) 的 傅里叶变换 :

x ∗ ( n ) ⟷ S F T X ∗ ( e − j ω ) x^*(n) \overset{SFT}\longleftrightarrow X^*(e^{-j \omega}) x∗(n)⟷SFT​X∗(e−jω)

根据 傅里叶变换的公式 :

S F T [ x ( n ) ] = X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ω n SFT[x(n)] = X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} SFT[x(n)]=X(ejω)=n=−∞∑+∞​x(n)e−jωn

以及共轭的性质 :

( a + b ) ∗ = a ∗ + b ∗ ( a + b )^* = a^* + b^* (a+b)∗=a∗+b∗

x ( n ) x(n) x(n) 的傅里叶变换为 :

S F T [ x ( n ) ] = X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ω n SFT[x(n)] = X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} SFT[x(n)]=X(ejω)=n=−∞∑+∞​x(n)e−jωn

x ∗ ( n ) x^*(n) x∗(n) 的傅里叶变换为 :

S F T [ x ∗ ( n ) ] = ∑ n = − ∞ + ∞ x ∗ ( n ) e − j ω n SFT[x^*(n)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) e^{-j \omega n} SFT[x∗(n)]=n=−∞∑+∞​x∗(n)e−jωn

将共轭提取到外部 , e − j ω n e^{-j \omega n} e−jωn 就变成 e j ω n e^{j \omega n} ejωn 了 , 可得到 :

S F T [ x ∗ ( n ) ] = ∑ n = − ∞ + ∞ x ∗ ( n ) e − j ω n = [ ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e j ω n ] ∗ SFT[x^*(n)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) e^{-j \omega n} = [ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{j \omega n} ] ^* SFT[x∗(n)]=n=−∞∑+∞​x∗(n)e−jωn=[n=−∞∑+∞​x(n)ejωn]∗

最终得到 :

x ∗ ( n ) ⟷ S F T X ∗ ( e − j ω ) x^*(n) \overset{SFT}\longleftrightarrow X^*(e^{-j \omega}) x∗(n)⟷SFT​X∗(e−jω)